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平面向量知识点梳理(3篇)

第一篇

一、平面向量的基本概念

1.向量的定义

向量是既有大小又有方向的量。与数量不同，数量只有大小，而向量兼具大小与方向两个要素。比如，物理学中的位移、速度、力等都是向量。位移不仅有移动的距离（大小），还有移动的方向；速度既有快慢（大小），又有运动的方向；力也有大小和作用方向。我们通常用有向线段来表示向量，有向线段的长度表示向量的大小，箭头所指的方向表示向量的方向。

2.向量的表示方法

几何表示：用有向线段\(\overrightarrow{AB}\)来表示，其中\(A\)为起点，\(B\)为终点。

字母表示：可以用小写字母\(\vec{a}\)，\(\vec{b}\)，\(\vec{c}\)等表示，手写时要在字母上方加箭头；也可以用大写字母表示向量，如\(\overrightarrow{AB}\)。

3.向量的模

向量的大小叫做向量的模，记作\(\vert\overrightarrow{AB}\vert\)或\(\vert\vec{a}\vert\)。模是一个非负实数，它表示向量的长度。例如，若\(\overrightarrow{AB}\)表示一个位移向量，\(\vert\overrightarrow{AB}\vert\)就表示位移的距离。

4.特殊向量

零向量：长度为\(0\)的向量叫做零向量，记作\(\vec{0}\)。零向量的方向是任意的，它在向量运算中有着特殊的地位，就像数字\(0\)在实数运算中的作用一样。

单位向量：长度等于\(1\)个单位的向量叫做单位向量。对于任意非零向量\(\vec{a}\)，与它同方向的单位向量记作\(\vec{e}=\frac{\vec{a}}{\vert\vec{a}\vert}\)。例如，在平面直角坐标系中，\(x\)轴正方向的单位向量\(\vec{i}=(1,0)\)，\(y\)轴正方向的单位向量\(\vec{j}=(0,1)\)。

5.相等向量

长度相等且方向相同的向量叫做相等向量。若\(\vec{a}=\vec{b}\)，则意味着它们的大小相等且方向一致。相等向量可以通过平移重合，因为向量具有可平移性，只要大小和方向不变，向量的位置不影响其本质。例如，在平行四边形\(ABCD\)中，\(\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}\)，因为它们的长度相等且方向相同。

6.相反向量

长度相等且方向相反的向量叫做相反向量。向量\(\vec{a}\)的相反向量记作\(-\vec{a}\)。例如，若\(\vec{a}\)表示向东走\(5\)米的位移向量，那么\(-\vec{a}\)就表示向西走\(5\)米的位移向量。

二、平面向量的线性运算

1.向量的加法

三角形法则：已知非零向量\(\vec{a}\)，\(\vec{b}\)，在平面内任取一点\(A\)，作\(\overrightarrow{AB}=\vec{a}\)，\(\overrightarrow{BC}=\vec{b}\)，则向量\(\overrightarrow{AC}\)叫做\(\vec{a}\)与\(\vec{b}\)的和，记作\(\vec{a}+\vec{b}\)，即\(\vec{a}+\vec{b}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}\)。三角形法则的实质是“首尾相连，首指向尾”。例如，若\(\vec{a}\)表示从点\(O\)到点\(P\)的位移，\(\vec{b}\)表示从点\(P\)到点\(Q\)的位移，那么\(\vec{a}+\vec{b}\)就表示从点\(O\)到点\(Q\)的位移。

平行四边形法则：以同一点\(O\)为起点的两个已知向量\(\vec{a}\)，\(\vec{b}\)为邻边作平行四边形\(OACB\)，则以\(O\)为起点的对角线\(\overrightarrow{OC}\)就是\(\vec{a}\)与\(\vec{b}\)的和。平行四边形法则适用于两个不共线向量的加法，其本质也是将向量进行合成。

加法运算律

交换律：\(\vec{a}+\vec{b}=\vec{b}+\vec{a}\)。这可以通过平行四边形法则直观理解，在平行四边形\(OACB\)中，\(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}=\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OA}=\overrightarrow{OC}\)。

结合律：\((\vec{a}+\vec{b})+\vec{c}=\vec{a}+(\vec{b}+\vec{c})\)。结合律保证了多个向量相加时可以任意结合顺序进行计算。

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