高中数学人教A版必修第二册6.2.2 向量的减法运算教学设计.docxVIP

6.2.2向量的减法运算

课程：高中数学

教材：高中数学人教A版必修第二册

章节：6.2.2向量的减法运算

教材分析

本节课通过类比数的运算，引入向量的相反向量概念，进而定义向量的减法，并通过几何图形展示了向量减法的作图方法和几何意义。教学过程可从学生已有认知出发，通过问题引导、图形辅助，帮助学生理解向量减法的代数与几何表示。本节内容承接向量加法运算，是向量线性运算的重要组成部分，为后续学习向量的数乘及向量在几何中的应用奠定基础。通过本节课的学习，学生能够提升数形结合能力，掌握向量运算的转化思想，为理解向量在解析几何、物理等领域的应用提供工具支持。

学情分析

针对本节知识内容和学生认知水平而言，学生已经掌握了向量的基本概念、向量的加法运算及其几何意义，了解了零向量和向量的模等基本性质，具备了一定的几何直观和代数运算能力，这为理解相反向量及向量减法的定义奠定了基础。高中阶段的学生具备一定的抽象思维能力，能够接受由具体到抽象的数学概念构建过程，但在将向量减法转化为加法运算以及理解向量减法的几何意义时，仍需借助直观图形辅助理解，以增强数形结合的能力。本节课要求学生理解相反向量的概念，掌握向量减法的定义及其几何意义，并能通过作图求解两个向量的差，从而提升逻辑推理能力和数形结合能力，为后续学习向量的数乘运算及向量在几何中的应用打下坚实基础。

教学目标

理解向量减法的定义，能够准确表述相反向量的概念及其性质，达到数学抽象核心素养水平一的要求。

掌握向量减法的代数运算规则，能够将向量减法转化为加法运算进行计算，达到数学运算核心素养水平二的要求。

理解向量减法的几何意义，能够通过作图法直观表示向量减法运算，达到直观想象核心素养水平二的要求。

能够运用向量减法的几何意义解决实际问题，建立向量运算与几何图形之间的联系，达到逻辑推理核心素养水平二的要求。

重点难点

教学重点：向量减法的定义与几何意义，掌握向量减法转化为加法的运算规则，能用图形表示向量差。

教学难点：理解相反向量的概念及其性质，准确运用向量减法的几何作图方法并解释其数学意义。

课堂导入

同学们，我们之前学习了向量的加法运算，那大家思考一个问题：假如有一艘船，它先向正东方向行驶一段距离，用向量a表示，之后又向正西方向行驶一段距离，用向量b表示，那船最终相对初始位置的位移该如何表示呢？这其实就涉及到向量的减法运算。我们知道数有相反数，类似地，向量也有相反向量，规定与向量a长度相等、方向相反的向量叫?a。就像数的减法可以转化为加法，向量的减法是否也能转化为加法呢？今天，就让我们一起探索向量的减法运算，看看它到底是怎么一回事。

向量的减法运算

探究新知

（一）知识精讲

在学习了向量加法的基础上，我们进一步研究向量的减法运算。与实数中“相反数”的概念类似，我们引入“相反向量”的定义：对于任意一个向量a，存在一个与它长度相等、方向相反的向量，称为a的相反向量，记作?a

根据相反向量的定义，我们有如下性质：

?(?

进一步地，我们可以得到：

a+(

在此基础上，我们定义向量的减法：向量a减去向量b，即a?b，定义为a加上?b，即：

为了更直观地理解向量减法的几何意义，我们可以通过图形来表示。如图6.2-10所示，设OA=a，OB=b，OD=?b，连接AB，由向量减法的定义可知：

a?b=a+(?b)

由此，我们得出向量减法的几何作图方法：如图6.2-11所示，已知向量a、b，在平面内任取一点O，作OA=a，OB=b，则向量a?b可以表示为从向量b

（二）师生互动

教师提问1：

如果a=b，那么a

学生回答：

当a=b时，

教师提问2：

已知a?b=c，那么

学生回答：

根据减法定义，b?a=b+(?a)

教师提问3：

如果向量a和b的起点相同，终点分别为A和B，那么a?b

学生回答：

根据几何意义，a?b表示从b的终点指向a的终点的向量，即从B指向

（三）设计意图

通过引入相反向量的概念，引导学生理解向量减法的本质是加法的逆运算，帮助学生建立向量运算的系统性认知。结合图形分析，使学生能够从代数与几何两个角度理解向量减法的含义，提升其数形结合的能力。教师通过层层递进的问题引导学生思考，激发学生主动探究的兴趣，培养其逻辑推理和抽象概括能力。同时，通过类比实数运算中的相反数概念，增强学生对数学知识迁移的理解，体现数学知识的内在一致性与逻辑性。

新知应用

例3题目：

如图6.2-12(1)，已知向量a，b，c，d，求作向量a?b，

解答：

我们根据向量减法的定义：

a?b

作图步骤如下：

在平面内任取一点O，作：

O

O

O

O

根据向量减法的几何意义：

向量a?b可以表示为从b的终点指向a的终点的向量，即：