高中数学人教A版必修第二册6.2.3 向量的数乘运算教学设计.docxVIP

6.2.3向量的数乘运算

课程：高中数学

教材：高中数学人教A版必修第二册

章节：6.2.3向量的数乘运算

教材分析

本节课通过向量加法的几何表示引入实数与向量乘积的概念，从具体作图出发归纳出数乘运算的定义及其长度与方向的规律，并给出运算律和平面向量共线定理。教学过程遵循“直观感知—归纳抽象—逻辑推导”的认知路径，引导学生经历概念形成的过程。本节内容承接向量的加减运算，是向量线性运算的深化，为后续学习向量共线、平面向量基本定理及向量的坐标表示奠定基础。通过数乘运算的学习，学生能进一步理解向量的代数结构，提升运算能力和几何直观素养，掌握用代数方法刻画几何关系的基本思路，为解析几何与空间向量的学习提供工具支持。

学情分析

针对本节知识内容和学生认知水平而言，学生已学习了向量的加减法运算，掌握了向量的几何表示、模和方向的基本概念，并通过物理中的位移、力等实际背景理解了向量的意义，具备了一定的数形结合意识和几何直观能力，高中阶段学生的抽象思维能力逐步发展，能够接受符号化、形式化的数学表达，但在从具体运算过渡到一般规律归纳时仍需引导，本节课要求学生通过类比数的乘法理解实数与向量乘积的定义，掌握λa

教学目标

理解向量数乘的定义，能够解释数乘运算对向量长度和方向的影响，达到数学抽象核心素养水平一的要求。

掌握向量数乘的运算律，能够正确运用运算律进行向量线性运算，达到数学运算核心素养水平二的要求。

理解平面向量共线定理，能够运用定理判断向量共线关系并求出比例系数，达到逻辑推理核心素养水平二的要求。

能够通过具体实例归纳出向量数乘运算的一般规律，建立向量运算与实数运算的联系，达到数学抽象核心素养水平二的要求。

能够运用向量数乘知识解决实际问题，如力的合成与分解等，达到数学建模核心素养水平一的要求。

重点难点

教学重点：向量数乘的定义、运算律及其几何意义，共线向量的充要条件。

教学难点：向量数乘运算的方向判断，平面向量共线定理的理解与应用。

课堂导入

同学们，在之前的学习中我们已经掌握了向量的加法与减法运算。现在我们来看这样一个情境：假设一辆汽车以向量v的速度匀速行驶，3小时后的位移对应的向量该如何表示呢？这其实就类似于我们把向量v“加”了3次，是不是有点像数的乘法呢？同样，如果汽车以相反方向，也就是?v的速度行驶3小时，其位移向量又该怎么表示？由此，我们可以类比数的乘法，引入向量与实数相乘的运算，即向量的数乘运算。这节课，我们就一起来探究向量数乘运算的奥秘。

向量的数乘运算

探究新知

（一）知识精讲

已知非零向量a，我们考虑三个相同向量的和：a+a+a。根据向量加法的三角形法则，如图所示，从点O出发，依次作OA=a，AB=a，BC

观察可知，3a的方向与a的方向相同，且其长度是a长度的3倍，即∣

类似地，考虑(?a)+(?a)+(?a)

此时，?3a的方向与a的方向相反，其长度仍是a长度的3倍，即

一般地，我们规定：实数λ与向量a的积是一个向量，这种运算称为向量的数乘（scalarmultiplicationofvectors），记作λa

(1)∣λa∣=∣λ∣∣a∣；

(2)当λ

由上述规定可知，当λ=0时，λa

根据数乘的定义，可以验证以下运算律成立：

设λ、μ为实数，则对任意向量a、b，有：

(1)λ(μa)=(λμ)

此外，还成立：

(?λ)a

向量的加法、减法与数乘运算统称为向量的线性运算，其结果仍然是一个向量。对于任意向量a、b以及任意实数λ、μ1、μ2，恒有：

（二）师生互动

教师：刚才我们看到，3a是把a同向延伸三倍，而?3a是反向延伸三倍。那么如果λ=12，你能想象12a的几何意义吗？

学生：应该是与a同方向，但长度只有原来的一半。

教师：很好！那如果λ=?2呢？

学生：方向与a

（三）设计意图

通过具体实例引入向量数乘的概念，借助几何直观帮助学生理解数乘运算对向量长度和方向的影响，使抽象定义建立在可感知的操作基础上，达成对向量数乘定义的准确掌握。在推导与归纳过程中，强调类比思想的应用，引导学生从实数运算的经验出发，迁移至向量运算体系，发展逻辑推理与抽象概括能力。通过展示运算律并结合师生对话，强化学生对向量线性运算结构的理解，促进代数思维的发展。整个探究过程倡导观察、归纳、类比的学习方式，注重知识之间的联系，培养学生用数学语言表达思想的习惯，同时渗透数学结构的和谐美与统一性，提升对数学本质的认识。

新知应用

例5题目：

计算：

(1)(?3)×4a；

(2)

解答：

(1)原式=(?3)×(4a)。

(2)原式=3(a+b)?2(a?b)?a。

先对括号进行数乘展开：

(3)原式=(2a+3b?c)?(3a?2b+c)。

去括号时注意第二组括号前是减号，需逐项变号：

=2a+3b?c?3a