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直角三角形（知识讲解）
【学习目标】
1．理角并掌握直角三角形的性质与判定；
2．灵活运用直角三角形的性质与判定进行证明与计算.
【要点梳理】
要点一、直角三角形的定义
三角形中，有一个角是直角的三角形叫做直角三角形.
特别说明：
如果直角三角形中，有一个锐角是45°这样的三角形是等腰直角三角形等，且两锐角都等于45°.
要点二、判定直角三角形全等的特殊方法——斜边，直角边定理
在两个直角三角形中，有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（可以简写成“斜边、直角边”或“HL”）.这个判定方法是直角三角形所独有的，一般三角形不具备.
特别说明：
（1）“HL”从顺序上讲是“边边角”对应相等，由于其中含有直角这个特殊条件，所以三角形的形状和大小就确定了.
（2）判定两个直角三角形全等的方法共有5种：SAS、ASA、AAS、SSS、HL.证明两个直角三角形全等，首先考虑用斜边、直角边定理，再考虑用一般三角形全等的证明方法.
（3）应用“斜边、直角边”判定两个直角三角形全等的过程中要突出直角三角形这个条件，书写时必须在两个三角形前加上“Rt”.
要点三、直角三角形的性质
直角三角形中两锐角互余.
直角三角形中，30°锐角所对的直角边等于斜边的一半.
在直角三角形中，如果有一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的锐角等于30°.
勾股定理：直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边的平方.
勾股定理逆定理：如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形.
直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半.
要点四、直角三角形的判定
有两内角互余的三角形是直角三角形.
在三角形中，若一条边上的中线等于该边的一半，则这条边所对的角是直角，这个三角形是直角三角形.
如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，则这个三角形是直角三角形，第三边为斜边.
【典型例题】
类型一、直角三角形??两锐角互余??证明??求解
1．如图，在中，平分，P为线段上的一个动点，交的延长线于点E．
若，，求的度数；
当P点在线段上运动时，猜想与，的数量关系，并证明．
【答案】(1)(2)，理由见分析
【分析】（1）根据三角形内角和定理，三角形外角的性质，直角三角形的两个锐角互余计算即可．
（2）根据三角形内角和定理，三角形外角的性质，直角三角形的两个锐角互余计算即可．
解：（1）因为，，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴．
（2）．
理由如下：，
∵平分，
∴，
∴，
∴．
【点拨】本题考查了三角形内角和定理，三角形外角的性质，直角三角形的两个锐角，角的平分线的意义，熟练掌握三角形外角的性质，直角三角形的两个锐角是解题的关键．
举一反三：
【变式1】如图，在中，，平分，，垂足为D，交于点E．
求证：．
【答案】证明见分析
【分析】过点D作，交于点F，首先根据平行线的性质可得，，再根据等腰三角形的性质可证得，可得，根据角平分线的定义，可证得，可得，再根据，可得，，据此即可证得结论．
解：证明：如图，过点D作，交于点F．
，，
，
，
，
．
平分，
，
，
．
，
．
，
，
，
．
【点拨】本题主要考查了平行线的性质，等腰三角形的性质，角平分线的定义，作出辅助线是解决本题的关键．
【变式2】在中，，，点D是边上一动点，将沿直线翻折，使点A落在点E处，连接，交于点F．当是直角三角形时，求度数．
【答案】或
【分析】根据折叠的性质可得，，再由直角三角形两锐角的关系可得，然后分两种情况讨论：当时，当时，结合三角形内角和定理，即可求解．
解：由折叠的性质得：，，
∵，，
∴，
当时，则，
∴，
∴，
∴；
当时，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴；
综上所述，度数为或．
【点拨】本题主要考查了三角形内角和定理，图形的折叠，利用分类讨论思想解答是解题的关键．
类型二、直角三角形??全等性质??HL综合证明??证明??求解
2．如图，已知AC⊥BC，BD⊥AD，AC与BD交于O，AC=BD．
求证：（1）BC=AD；
（2）△OAB是等腰三角形．
【分析】（1）根据AC⊥BC，BD⊥AD，得出△ABC与△BAD是直角三角形，再由AC=BD，AB=BA，根据HL得出△ABC≌△BAD，即可证出BC=AD．
（2）根据△ABC≌△BAD，得出∠CAB=∠DBA，从而证出OA=OB，△OAB是等腰三角形．
解：（1）∵AC⊥BC，BD⊥AD，
∴△ABC与△BAD是直角三角形，
在△ABC和△BAD中，∵AC=BD，AB=BA，∠ACB=∠BDA=90°，
∴△ABC≌△BAD（HL）
∴BC=AD．
（2）∵△ABC≌△BAD，
∴∠CAB=∠DBA，
∴OA=OB．
∴△OAB是等腰三角形．
【点拨】本题考查了全等
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