第5讲一元二次函数（上）.docVIP

第二讲一元二次函数

本讲概述

一元二次函数部分在目前竞赛中所占比重不算太大。其主要出现在各省市预赛与联赛一试填空题中。若在一试填空题中出现，一般都是与其它函数如对数、指数函数或绝对值函数、分式、根式方程等相联系、复合以增加复杂度。

其考察难度与高考基本相同。但值得注意的是，在部分省市的高考压轴题中往往可能出现较为复杂的与一元二次函数乃至三次函数相关的问题，但北京市基本上不这么考。只有各中学或各区自己命题时有时会考到。但是，作为高考和竞赛的一个基础性内容，毋庸置疑本讲是每一位同学都必须滚瓜乱熟地掌握的。

本讲内容以基础性问题为主，更为复杂的问题将在函数综合、代数复习等讲中出现。每一讲板块的划分是很粗糙的，因为的确有很多问题难以划分到某个板块中去，而将板块进一步细分也没有必要。

事实上，一元二次函数、一元二次方程、抛物线图象是从三个不同侧重点来研究同一个问题，因此本讲还包含部分一元二次方程及不等式问题。

例题精讲

板块一二次函数解析式

求二次函数解析式是最基本的题型，其主流方法是用待定系数法，一般设法有：

根据题目特点设相应的形式往往能够简化计算.

板块二最值与值域

板块三零点的分布与韦达定理

函数的零点即函数对应方程的根.讨论零点的分布一般需要讨论对称轴、判别式以及某函数值的正负等，其手段较为灵活，难以掌握.

韦达定理在处理与平面解析几何相关问题时异常重要，往往可以简化运算.

有两个异号实根；

大显身手

(1)求m的取值范围（2）求方程两根平方和的最大值与最小值

学习之外

陶哲轩谈什么是好数学（续）

陶哲轩谈什么是好数学（续）

好的数学还包括：

好的数学品味(比如自身有趣且对重要课题、主题或问题有影响的研究目标)；

好的数学普及(比如向非数学家或另一个领域的数学家有效地展示数学成就)；

好的元数学(比如数学基础、哲学、历史、学识或实践方面的进展)；[

严密的数学(所有细节都正确、细致而完整地给出)；

美丽的数学(比如Ramanujan的令人惊奇的恒等式；陈述简单漂亮，证明却很困难的结果)；

优美的数学(比如PaulErdos的“来自天书的证明”观念；通过最少的努力得到困难的结果)；

创造性的数学(比如本质上新颖的原创技巧、观点或各类结果)；

有用的数学(比如会在某个领域的未来工作中被反复用到的引理或方法)；

强有力的数学(比如与一个已知反例相匹配的敏锐的结果，或从一个看起来很弱的假设推出一个强得出乎意料的结论)；

深刻的数学(比如一个明显非平凡的结果，比如理解一个无法用更初等的方法接近的微妙现象)；

直观的数学(比如一个自然的、容易形象化的论证)；

明确的数学(比如对某一类型的所有客体的分类；对一个数学课题的结论)；

其它。

如上所述，数学品质这一概念是一个高维的(highdimensional)概念，并且不存在显而易见的标准排序。我相信这是由于数学本身就是复杂和高维的，并且会以一种自我调整及难以预料的方式而演化；上述每种品质都代表了我们作为一个群体增进对数学的理解及运用的不同方式。至于上述品质的相对重要性或权重，看来并无普遍的共识。这部分地是由于技术上的考虑：一个特定时期的某个数学领域的发展也许更易于接纳一种特殊的方法；部分地也是由于文化上的考虑：任何一个特定的数学领域或学派都倾向于吸引具有相似思维、喜爱相似方法的数学家。它同时也反映了数学能力的多样性：不同的数学家往往擅长不同的风格，因而适应不同类型的数学挑战。