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概率论与数理统计知识点总结

概率论与数理统计作为数学的重要分支，在自然科学、工程技术、社会科学乃至日常生活中都有着广泛的应用。它不仅是深入学习其他学科的理论基础，也是培养逻辑思维与数据分析能力的有效途径。本文旨在对概率论与数理统计的核心知识点进行系统梳理与总结，为学习者提供一份兼具专业性与实用性的参考资料。

一、概率论基础

1.1随机事件与样本空间

随机试验是概率论研究的起点，它具有可重复性、结果的多样性以及试验前结果的不确定性这三个基本特征。

样本空间（通常记为Ω）是随机试验所有可能结果组成的集合，其中的每一个元素称为样本点（记为ω）。

随机事件（简称事件，通常用大写字母A,B,C...表示）是样本空间Ω的子集，即由若干样本点组成的集合。特别地，由单个样本点组成的事件称为基本事件；样本空间Ω本身称为必然事件；空集?称为不可能事件。

1.2事件间的关系与运算

事件的关系与运算在逻辑上与集合的关系与运算完全对应，主要包括：

*包含关系：若事件A发生必然导致事件B发生，则称A包含于B（A?B）或B包含A（B?A）。

*相等关系：若A?B且B?A，则称事件A与B相等（A=B）。

*和事件（并事件）：事件A与B至少有一个发生，记为A∪B或A+B。可推广至多个事件的和。

*积事件（交事件）：事件A与B同时发生，记为A∩B或AB。可推广至多个事件的积。

*差事件：事件A发生而事件B不发生，记为A-B。

*互斥事件（互不相容事件）：若事件A与B不能同时发生，即AB=?，则称A与B互斥。

*对立事件（逆事件）：若A∪B=Ω且AB=?，则称B是A的对立事件（逆事件），记为B=ā。显然，ā=Ω-A。

事件的运算满足交换律、结合律、分配律以及德摩根律等。

1.3概率的定义与性质

概率是度量随机事件发生可能性大小的数值。

*古典概型：具有有限样本空间且每个样本点发生的可能性相等的概率模型。其概率计算公式为：P(A)=A包含的基本事件数/样本空间中基本事件总数。

*几何概型：样本空间为一个可度量的几何区域，且每个样本点的发生具有等可能性。其概率计算公式为：P(A)=A的度量（长度、面积、体积等）/样本空间Ω的度量。

*概率的公理化定义：设E是随机试验，Ω是样本空间。对于E的每一个事件A，赋予一个实数P(A)，若满足：

1.非负性：P(A)≥0；

2.规范性：P(Ω)=1；

3.可列可加性：对于两两互斥的可列个事件A?,A?,...,有P(∪A?)=ΣP(A?)。

则称P(A)为事件A的概率。

概率的性质：

1.P(?)=0。

2.有限可加性：若A?,A?,...,A?两两互斥，则P(∪A?)=ΣP(A?)。

3.逆事件概率：P(ā)=1-P(A)。

4.单调性：若A?B，则P(A)≤P(B)，且P(B-A)=P(B)-P(A)。

5.加法公式：对于任意两事件A,B，有P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(AB)。可推广至多个事件的情形。

1.4条件概率与独立性

条件概率：设A,B是两个事件，且P(B)0，则在事件B发生的条件下事件A发生的条件概率定义为：P(A|B)=P(AB)/P(B)。

乘法公式：由条件概率定义可得P(AB)=P(B)P(A|B)（P(B)0）或P(AB)=P(A)P(B|A)（P(A)0）。可推广至多个事件积事件的概率。

全概率公式：设B?,B?,...,B?是样本空间Ω的一个划分（即两两互斥且∪B?=Ω），且P(B?)0，则对任一事件A，有P(A)=ΣP(B?)P(A|B?)。

全概率公式用于将复杂事件的概率分解为若干简单事件概率的加权和。

贝叶斯公式：在全概率公式的条件下，若P(A)0，则对任一B?，有P(B?|A)=P(B?)P(A|B?)/ΣP(B?)P(A|B?)。

贝叶斯公式用于“由果溯因”，根据试验结果A发生的信息，修正对原因B?发生概率的判断。

事件的独立性：若两事件A,B满足P(AB)=P(A)P(B)，则称A与B相互独立。此时，P(A|B)=P(A)（P(B)0），P(B|A)=P(B)（P(A)0），表明一个事件的发生与否不影响另一个事件发生的概率。

对于n个事件，独立性要求更为严格，需满足所有可能的子集乘积的概率等于各事件概率的乘积。

二、随机变量及其分布

2.1随机变量的概念

随机变量是定义在样本空间Ω上的实值函数X=X(ω)，它将随机试验的每一个结果ω与一个实数X(ω)相对应，从而将随机现象的结果数量化，便于运用数学工具进行处理。

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