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四年级奥数之周期问题

在我们的日常生活中，有许多现象是按照一定的规律重复出现的。比如，一天有24小时，从凌晨到正午再到午夜，周而复始；一周有七天，从星期一到星期日，循环往复；一年有四季，春夏秋冬，依次更迭。这些都是“周期现象”。数学世界里，也充满了类似的周期问题。掌握周期问题的解题方法，不仅能锻炼我们观察规律、总结规律的能力，也能让我们在看似复杂的问题中找到突破口，化繁为简。

一、认识“周期”

那么，究竟什么是“周期”呢？简单来说，“周期”就是指事物在运动、变化的过程中，某些特征多次重复出现，其连续两次出现所经过的时间或空间间隔。在数学问题里，我们更多关注的是数字、图形或符号按照一定顺序重复出现的现象。

比如，一串数字：1，2，3，1，2，3，1，2，3……这里“1，2，3”这三个数字就是一个重复的单元，我们把这个重复的单元叫做“周期”，这个周期的长度就是3。

再比如，一组图形：△，□，○，△，□，○……这里“△，□，○”就是一个周期，周期长度是3。

二、周期问题的解题“钥匙”

解决周期问题，最关键的是要找到以下几点：

1.确定周期长度(T)：仔细观察，找到重复出现的那一组内容，数清楚这一组里包含多少个个体，这个数量就是周期长度。

2.计算总量(N)：明确题目中给出的总数量是多少，或者需要我们计算的是第几个位置的个体。

3.利用除法找余数：用总量除以周期长度，得到商和余数。

*商(Q)：表示完整的周期有多少个。

*余数(R)：表示在经历了Q个完整周期后，还剩下多少个个体。

核心口诀：余几看几，无余看末。

也就是说，如果余数是1，就看周期里的第1个；余数是2，就看周期里的第2个……以此类推。如果没有余数（余数为0），就看周期里的最后一个。

三、经典例题解析

下面我们通过几个典型的例子来具体看看周期问题是如何解决的。

例题一：图形的周期排列

题目：有一串图形按这样的顺序排列：△，□，○，△，□，○，△，□，○……请问：

(1)第20个图形是什么？

(2)前20个图形中，△出现了多少次？

分析与解答：

首先，我们观察到这串图形是“△，□，○”三个一循环，所以周期长度T=3。

(1)问第20个图形是什么。这里总量N=20。

我们用20÷3=6（个周期）……2（个）。

商是6，表示有6个完整的“△，□，○”周期。余数是2，表示第20个图形是第7个周期里的第2个图形。

周期里的第2个图形是“□”。所以，第20个图形是□。

(2)问前20个图形中△出现的次数。

每个完整的周期里有1个△，6个完整的周期就有6×1=6个△。

余数是2，说明第7个周期里还有2个图形：“△”和“□”。这里面又有1个△。

所以，总共出现的△数量是6+1=7次。

例题二：数列的周期规律

题目：有一列数：1，3，5，7，1，3，5，7，1，3，5，7……请问：

(1)第18个数是多少？

(2)这18个数的和是多少？

分析与解答：

观察数列，“1，3，5，7”四个数为一个周期重复出现，所以周期长度T=4。

(1)求第18个数。N=18。

18÷4=4（个周期）……2（个）。

余数是2，所以第18个数是周期里的第2个数，即“3”。

(2)求这18个数的和。

首先，计算一个周期内数的和：1+3+5+7=16。

4个完整周期的和是：4×16=64。

余数是2，余下的两个数是周期里的前两个数：1和3。它们的和是1+3=4。

所以，这18个数的总和是64+4=68。

例题三：星期几的周期问题

题目：今天是星期三，再过25天是星期几？

分析与解答：

星期的周期是7天，即“星期三、星期四、星期五、星期六、星期日、星期一、星期二”，然后又回到星期三。所以周期长度T=7。

这里要注意，“再过25天”，是从明天开始算，还是包括今天？通常“再过几天”是不包括今天的。今天是星期三，再过1天是星期四，再过7天还是星期三。

我们把“星期四、星期五、星期六、星期日、星期一、星期二、星期三”看作一个周期，这样更方便计算“再过N天”。或者，我们也可以从今天（星期三）开始算，然后根据余数调整。

两种方法都可以，关键是要统一。

方法一（从明天开始算周期）：

周期：星期四、五、六、日、一、二、三(T=7)

25÷7=3（周）……4（天）

余数是4，所以是周期里的第4天，即星期日。

方法二（从今天开始算周期）：

周期：星期三、四、五、六、日、一、二(T=7)

“再过25天”相当于今天之后的第25天，也就是包括今天在内的第26天吗？不，不是。“今天”是第0天，再过1天是第1天（明天）。所以“再过25天”是第25天。

25÷7=3……4。从周期