2025年下学期高中数学推理论证测试试卷.docVIP

2025年下学期高中数学推理论证测试试卷

一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1.充分必要条件的逻辑推理

设集合(A={x|x^2-5x+6=0})，集合(B={x|x^2-(a+2)x+2a=0})，则“(a=3)”是“(A=B)”的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件

解析：解方程(x^2-5x+6=0)得(A={2,3})。对于集合(B)，方程可因式分解为((x-2)(x-a)=0)，根为(x=2)和(x=a)。若(a=3)，则(B={2,3}=A)，充分性成立；若(A=B)，则(a=3)，必要性成立。

2.函数单调性与导数的逻辑关系

已知函数(f(x)=x^3-3ax^2+3x+1)在((0,2))上单调递增，则实数(a)的取值范围是（）

A.(a\leq1)B.(a1)C.(a\leq2)D.(a2)

解析：(f(x)=3x^2-6ax+3)，由题意得(f(x)\geq0)在((0,2))上恒成立，即(x^2-2ax+1\geq0)。分离参数得(2a\leqx+\frac{1}{x})，而(x+\frac{1}{x}\geq2)（当(x=1)时取等号），故(2a\leq2)，即(a\leq1)。

3.立体几何中的空间推理

在棱长为2的正方体(ABCD-A_1B_1C_1D_1)中，点(P)在平面(BCC_1B_1)内运动，若(AP\perpBD_1)，则动点(P)的轨迹是（）

A.线段B.椭圆C.圆D.抛物线

解析：以(D)为原点建立空间直角坐标系，设(P(2,y,z))，向量(\overrightarrow{AP}=(2,y,z))，(\overrightarrow{BD_1}=(-2,-2,2))。由(\overrightarrow{AP}\cdot\overrightarrow{BD_1}=0)得(-4-2y+2z=0)，即(z=y+2)。结合平面(BCC_1B_1)的范围（(0\leqy\leq2)，(0\leqz\leq2)），轨迹为线段。

4.数列递推关系的逻辑分析

已知数列({a_n})满足(a_1=1)，(a_{n+1}=2a_n+1)，则(\lim_{n\to\infty}\frac{a_n}{2^n})的值为（）

A.0B.(\frac{1}{2})C.1D.2

解析：由递推式得(a_{n+1}+1=2(a_n+1))，故({a_n+1})是首项为2、公比为2的等比数列，(a_n=2^n-1)。则(\frac{a_n}{2^n}=1-\frac{1}{2^n})，当(n\to\infty)时，(\frac{1}{2^n}\to0)，极限为1。

5.复数模的几何意义推理

已知复数(z)满足(|z|=2)，则(|z-1-i|)的最小值为（）

A.(2-\sqrt{2})B.(\sqrt{2})C.(2+\sqrt{2})D.4

解析：(|z|=2)表示复数(z)在复平面内对应的点在以原点为圆心、半径为2的圆上，(|z-1-i|)表示圆上的点到点((1,1))的距离。圆心到点((1,1))的距离为(\sqrt{2})，故最小值为(2-\sqrt{2})。

6.三角函数的性质与推理

函数(f(x)=\sin(2x+\varphi))（(|\varphi|\frac{\pi}{2})）的图象关于直线(x=\frac{\pi}{6})对称，则(\varphi)的值为（）

A.(\frac{\pi}{6})B.(-\frac{\pi}{6})C.(\frac{\pi}{3})D.(-\frac{\pi}{3})

解析：由对称轴性质得(2\times\frac{\pi}{6}+\varphi