2025年下学期高中数学王诗宬低维拓扑试卷.docVIP

2025年下学期高中数学王诗宬低维拓扑试卷

一、选择题（每题5分，共30分）

曲面分类中，下列哪种曲面不属于紧致连通闭曲面的标准形式？

A.球面（亏格0）

B.环面（亏格1）

C.射影平面（不可定向）

D.双曲抛物面

Thurston几何化理论指出，任何闭三维流形都可以分解为具有标准几何结构的素流形，以下哪种几何结构不属于八种标准类型？

A.双曲几何（负常曲率）

B.球面几何（正常曲率）

C.欧氏几何（零曲率）

D.椭圆几何（正曲率）

纽结理论中，三叶结与八字结的根本区别在于

A.交叉点数不同

B.可解性（是否能解开为平凡结）

C.琼斯多项式的首项系数

D.所在三维流形的基本群

关于二维曲面的欧拉示性数，下列说法正确的是

A.球面的欧拉示性数为2

B.环面的欧拉示性数为1

C.亏格为g的可定向曲面欧拉示性数为2-2g

D.射影平面的欧拉示性数为0

三维流形的Heegaard分裂是指

A.将流形分解为两个实心环面的并集

B.通过闭曲面切割流形得到两个柄体

C.用环面分解将流形拆分为素流形

D.利用Dehn填充构造新的流形

在纽结不变量中，亚历山大多项式Δ(t)的主要作用是

A.判断纽结的交叉点数

B.区分不同的纽结类型

C.计算纽结的双曲体积

D.描述纽结的辫子群表示

二、填空题（每空4分，共40分）

闭曲面分类定理表明，所有可定向闭曲面由______唯一确定，不可定向闭曲面由______唯一确定。

三维流形S3（三维球面）的基本群π?(S3)是______群，这是庞加莱猜想的核心结论之一。

Dehn填充操作通过改变三维流形边界上的______来构造新流形，其参数由______（分数p/q）决定。

伪阿诺索夫映射是曲面自同胚的一种类型，其动力学特征表现为______和______的存在。

四维流形的光滑结构与拓扑结构可能不同，例如R?存在______种光滑结构，而拓扑结构唯一。

纽结的琼斯多项式V(t)在t=1处的取值V(1)=______，这一性质可用于判断纽结是否为平凡结。

双曲流形的体积是重要的拓扑不变量，两个双曲流形同胚当且仅当它们的______相等（根据Mostow刚性定理）。

三、解答题（共80分）

1.曲面分类与欧拉示性数（20分）

（1）已知一个可定向闭曲面的欧拉示性数为-4，求其亏格g，并画出该曲面的标准多边形表示（标明边的粘合方向）。

（2）证明：射影平面与克莱因瓶的连通和（P2#K）同胚于两个射影平面的连通和（P2#P2）。

2.三维流形几何化理论（25分）

（1）简述Thurston几何化猜想的核心内容，并列举三种三维流形的标准几何结构及其曲率特征。

（2）设M是一个双曲三维流形，其体积为Vol(M)=8.02，N是M的有限覆叠空间，覆叠次数为3，求Vol(N)并说明理由。

3.纽结理论与不变量（35分）

（1）计算下图所示三叶结的亚历山大多项式Δ(t)，并验证其满足对称性质Δ(t)=Δ(t?1)。

（2）利用琼斯多项式证明：右手三叶结与左手三叶结不同痕（非ambientisotopic）。

（3）简述纽结理论在DNA拓扑学中的一个应用：如何通过纽结不变量分析DNA分子的超螺旋结构？

四、开放探究题（20分）

低维拓扑与物理的交叉是当前研究热点。请结合以下两个场景，分析拓扑不变量的应用：

（1）拓扑量子计算中，如何利用非阿贝尔任意子的交换操作实现量子门？这一过程与纽结的什么性质相关？

（2）三维流形的陈-西蒙斯理论如何将纽结不变量与量子场论的路径积分联系起来？举例说明一个具体的物理现象（如分数量子霍尔效应）中拓扑序的作用。

参考答案及评分标准（仅教师用）

一、选择题

D2.D3.B4.A5.B6.B

二、填空题

亏格；亏格与可定向性2.平凡（单位元）3.环面边界；填充斜率4.稳定叶状结构；伸缩因子5.无穷多6.±17.体积

三、解答题

（1）亏格g=3；多边形表示为8边形，边按ababcdcdefef粘合（6分）。

（2）通过多边形表示的连通和运算证明，两者均同胚于亏格2的不可定向曲面（14分）。

（1）核心内容：任何闭三维流形可分解为具有八种标准几何结构的素流形；举例：双曲几何（-1）、球面几何（+1）、欧氏几何（0）（15分）。

（2）Vol(N)=3×8.02=24.06，双曲体积对有限覆叠具有可加性（10分）。

（1）Δ(t)=t?1-1+t（10分）；对称性质验证（5分）。

（2）右手三叶结V(t)=t?1-t?2+t?3，左手三叶结V(t)=t-t2+t3，两者不相等（12分）。

（3）DNA超螺旋对应纽结的交叉数变化，琼斯多项式可定量描述拓扑异构酶作用下的纽结类型转变（8分）