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设计合理“亮”思维，追求理解“启”智慧

“利用函数性质判定方程解的存在”的教学及启示阜阳市第三中学 凡胜富

摘要：教学实践证明，不是所有的问题都能引起学生思考，所以，要根据教学内容，从学生的认知规律和知识形成规律入手，设计出层次分明能激发学生思

考的问题，导引学生通过对问题的思考和探究，揭示问题的本质，领悟问题中蕴含的数学思想方法。

关键词：问题；思考；激发思维；自然过渡

问题是数学的心脏，也是引发学生思考和探究的源动力。课堂中，有了问题，学生在好奇心驱使下才能真正激发思维，实现知识的逻辑结构向学生的认知结构转化，因此，在教学过程中，我们可依据教学目标将教学内容设计成一系列问题，将这些问题由浅入深、由易到难、合理设计、适时呈现，导引学生通过问题的思考和探究来实现教学目标。下面笔者以参加市里一次教学大赛获奖的一节课为例，谈谈自己的粗浅体会，和同行交流。

一、教学过程实录

（一）创设情境，提出问题

教师：前面我们已经学习了函数的概念、性质和几个特殊的函数，对函数已经有了初步的了解，这节课我们就来学习函数的一些用途。下面我们就来看一个和函数关系最密切的方程问题：（多媒体演示）

判断下列方程是否有实数解：

（1）x?1?0 （2）x2?3x?2?0

请问大家是怎么判断出结果来的？生1：利用公式解方程求得

生2：也可以画出y?x?1,y?x2?3x?2的图像与x轴的交点得到

教师：好请继续看下题：（3）2x?x?5?0

（学生不知所措）

教师：大家判断不出来这很正常，这个方程不是我们所熟悉的方程，我们没有公式可以用，也画不出图像判断，利用我们目前知识并不能解决所有的方程解问题，请大家和我一起了解一下方程求解的发展历程：

在2010年第六期《科学》杂志中有一篇为纪念华罗庚诞辰100周年的文章——一元五次方程求解的往事，该文章中介绍了早在16世纪，数学家就已经解决了一次，二次，三次和四次方程的一般性解法，在随后的三百多年里，方程解法的发展停滞了，直到19世纪挪威年轻数学家阿贝尔成功地证明了五次以上一般方程没有根式解，这就是方程求解的发展史。

教师：这节课我们就来弥补一下我们目前知识的欠缺（引入课题）

设计意图：由学生熟悉的方程推进到一个本身不能求解的方程，造成学生的认知冲突，同时借助方程发展史极大吸引学生探究新知的兴趣，激发学生的求知欲望。情境的创设，既自然渗透数学文化，揭示学习本节课的必要性，又有效激活学生的思维，对现象达到理解性认识，又为下面探究奠定良好的认知基础。

（二）实验探究，解决问题

教师：首先让我们来看第1个问题：

问题1：如何在没有求解公式的背景下判断方程是否有解

教师：我们处理问题时候通常遇到难以解决的问题时，会回到我们会处理的问题入手去发现解决办法和一些规律，好，让我们再回到刚才我们已经解决的两个方程问题。

实验活动一

一元一次方程

x?1?0和相应的一次函数f(x)?x?1的图象有何关系？

生3：一元一次方程的根是对应一元一次函数图像与x轴的交点的横坐标。

实验活动二

一元二次方程

x2?3x?2?0和相应的二次函数f(x)?x2?3x?2的图像有何关

系？

生4：一元二次方程的根就是对应二次函数图像与x轴的交点的横坐标。

教师：请同学们思考对于一般的函数（高次函数，指对数函数等）与对应方程是否也有上述的结论成立呢？同学们，来继续看活动三。

设计意图：以问题激发学生思考，学生通过动手实验，体会深刻，自然地得到函数和方程关

系的初步认识，通过实验也可以直观感悟概念形成之中隐藏的数学思想，有利于全面、深刻地理解概念的本质。

实验活动三

判断方程

2x?x?5?0是否有解

（师生互动：现场在几何画板下展示函数的图象）

教师：经过以上三个实践活动问题1得到解决方案：通过作出方程所对应的函数的图像，根据函数图象与x轴是否有交点加以判别。看来我们需要引入新的定义来解决这类问题了。

设计意图：再一次体会方程的根是对应函数图像与横轴交点的横坐标。将结论推广到一般，

为零点概念做好铺垫．

（三）抽象概括，形成概念

函数的零点：我们把函数y?f?x

的图像与横轴的交点的横坐标叫做函数y?f?x的

零点。

教师：对于这个定义我们可以从两个角度来刻画：数和形的角度，你能说说你对方程的根、函数图象与x轴的交点、函数的零点三者之间的关系的理解吗？

生5：得到以下结论：等价关系：方程f?x??0有实数根

函数y?f?x

函数y?f?x

的图象与x轴有交