2024-2025福建厦门杏南中学高二（上）期中数学试卷【答案版】.docxVIP

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2024-2025学年福建省厦门市杏南中学高二（上）期中数学试卷

一、单选题（本大题共8个小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1．直线x-3

A．π6 B．π3 C．5π6

2．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是平行四边形，已知PA→=a→，PB→=b

A．12a→-3

C．12a→+

3．已知椭圆E：x29+y23=1的左、右焦点分别为F1，F2，点P为E上一点，若PF1⊥

A．32 B．52 C．3 D

4．已知双曲线C：x2a2-y

A．x232-y2

C．x216-y

5．若直线l过点（﹣3，﹣2），且与双曲线x24-

A．2x+y﹣8＝0 B．2x+y+8＝0 C．2x﹣y+8＝0 D．2x﹣y﹣6＝0

6．棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，P是BC1中点，则异面直线PD与A1B所成角的余弦值是（）

A．36 B．26 C．33

7．公元前3世纪，古希腊数学家阿波罗尼斯结合前人的研究成果，写出了经典之作《圆锥曲线论》，在此著作第七卷《平面轨迹》中，有众多关于平面轨迹的问题，例如：平面内到两定点距离之比等于定值（不为1）的动点轨迹为圆．后来该轨迹被人们称为阿波罗尼斯圆．已知平面内有两点A（﹣1，0）和B（2，1），且该平面内的点P满足|PA|=2|PB|，若点P的轨迹关于直线mx+ny﹣2＝0对称，则

A．0 B．1 C．2 D．3

8．已知双曲线C：x2a2-y2b2=1(a＞0，b＞0)的右焦点为F，c是双曲线C的半焦距，点A是圆x2+y2＝c2

A．72 B．332 C．7

二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求，全部选对的得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分）

9．已知直线x+y＝0与圆M：x2+（y﹣2）2＝r2相切，则下列说法正确的有（）

A．r=2

B．过（0，5）作圆M的切线，切线长为7

C．圆M与圆x2+y2+4x﹣8＝0的位置关系为内含

D．圆M与圆（x+3）2+（y+1）2＝10与圆M的公共弦所在直线的方程为3x+3y﹣1＝0

10．已知椭圆C：

A．椭圆C的长半轴长是12

B．椭圆C的短半轴长是2

C．椭圆C的焦点坐标分别是F1（0，2），F2（0，﹣2）

D．经过椭圆C焦点的最短弦长是4

11．已知空间四个点ABCD，其坐标分别为A（0，0，0），B（﹣2，1，4），C（4，2，0），P（1，1，1），则下列结论正确的有（）

A．AP⊥AB B．AP⊥BP

C．AP∥BC D．点P到直线AC的距离为30

三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）

12．在四面体O﹣ABC中，空间的一点M满足OM→=λOA→+2OB→-4OC→，若M，A，B，

13．已知直线3x+4y﹣m＝0和6x+my+1＝0互相平行，则实数m＝，两直线之间的距离是．

14．已知经过点P（2，1）且斜率为﹣1的直线l与椭圆C：x2a2+y2b2=1(a＞b＞0)交于A

四、解答题（共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

15．（15分）如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，棱长为2，E，F，G分别是BB1，D1B1，AB的中点．

（1）求证：EF⊥A1D；

（2）求证：EF∥面A1DG．

16．（15分）已知圆M：x2﹣2x+y2+4y﹣10＝0．

（1）求圆M的标准方程，并写出圆M的圆心坐标和半径；

（2）若直线x+3y+C＝0与圆M交于A，B两点，且|AB|=25，求C

17．（15分）已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a＞b

（1）求椭圆C的方程；

（2）存在一组平行直线l：y＝x+t，

①直线l与椭圆C相交时，求t的取值范围；

②当t＝1，直线l与椭圆相交于AB两点，求|AB|．

18．（15分）已知动点M（x，y）与定点F（4，0）的距离和M到定直线l：x=25

（1）求动点M的轨迹方程，并说明它是什么曲线；

（2）在E上是否存在一点使得它到直线4x﹣5y+40＝0的距离最小？若存在，请求出最小距离而对应点P的坐标；若不存在，请说明理由．

19．（17分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，PB与底面ABCD所成角为45°，底面ABCD为直角梯形，∠ABC＝∠BAD＝90°，AD＝2，PA＝BC＝1．

（1）求PB与平面PCD所成角的正弦值；

（2）求平面PCD与平面PBA所成角的余弦值；

（3）N为AD中点，线段PC上是否存在动点M（不包括端点），使得点P到平面BMN距离为13．若存在，请