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2025年下学期高中数学竞赛团队精神试卷
一、团队协作基础题（共3题，每题10分）
1.资源分配问题
某竞赛团队需在3名队员中分配4道不同难度的题目，其中难题需2人合作完成，中档题可单独或合作完成，基础题需1人独立完成。已知队员A擅长难题，队员B擅长中档题，队员C擅长基础题。请设计至少两种分配方案，并通过加权评分法（难题权重0.5，中档题0.3，基础题0.2）计算团队预期得分。要求用矩阵表示队员能力值（1-10分），并建立优化模型。
解题思路参考：
建立3×3能力矩阵：横向为队员A/B/C，纵向为难题/中档题/基础题
设计0-1规划模型，目标函数为max(Σ能力值×权重×分配变量)
约束条件包括：每人最多承担2题，难题必须分配给至少2人，基础题仅分配1人
对比集中分配（难题由A+B合作）与分散分配（每人负责1-2类题目）的效率差异
2.时间统筹问题
团队需在180分钟内完成5道题，每道题的标准耗时分别为40、35、50、45、30分钟。根据历史数据，队员协作时会产生15%的效率损耗（两人合作完成题目时间=单人耗时×1.15），三人合作会产生25%损耗。请用甘特图原理设计最优答题顺序，要求：
（1）包含至少2个并行工作节点
（2）关键路径长度不超过170分钟
（3）计算团队协作收益（节约时间占比）
关键分析点：
采用约翰逊法则排序任务：先完成加工时间短的题目
识别关键路径：耗时最长的任务序列（如难题+中档题组合）
协作收益计算公式：(单人总耗时-协作总耗时)/单人总耗时×100%
考虑任务拆分可行性：如将50分钟难题拆分为25+25，由两人并行处理
3.沟通成本计算
团队在解题过程中需进行3类沟通：思路讨论（每次10分钟）、结果核验（每次8分钟）、进度同步（每次5分钟）。统计显示：
独立解题时每道题需1次思路讨论+1次结果核验
合作解题时每道题需2次思路讨论+2次结果核验+3次进度同步
当题目错误率超过20%时，需额外增加50%的沟通次数
若团队计划完成6道题，预估错误率为15%，请计算：
（1）总沟通时间占总解题时间的比例
（2）建立沟通成本函数C=αT+βE（T为解题时间，E为错误量）
（3）提出2条降低沟通成本的具体措施
数据建模参考：
错误量E=题目总数×错误率×每题标准错误点数
沟通时间=Σ(基础沟通次数+额外沟通次数)×单次时长
降低成本措施：建立标准化术语库（减少15%讨论时间）、采用看板工具（减少40%进度同步时间）
二、策略分析题（共2题，每题15分）
4.团队角色动态适配
某竞赛团队由5名队员组成，其角色测试结果如下表（数值越高越擅长）：
角色类型
队员甲
队员乙
队员丙
队员丁
队员戊
逻辑推理
9
6
8
7
5
计算执行
7
8
6
9
7
创新突破
6
9
7
5
8
细节校验
5
7
9
8
6
资源协调
8
5
6
7
9
现面临两种赛制：
A赛制：3道常规题（侧重逻辑+计算）+2道开放题（侧重创新+校验）
B赛制：2道综合题（需全角色参与）+3道专项题（单一角色主导）
要求：
（1）分别为两种赛制设计角色分配方案（用角色-队员匹配矩阵表示）
（2）计算角色适配度指数（Σ|角色需求-队员能力|的最小值）
（3）分析赛制转换时的角色转换成本（适应时间=角色差异值×2分钟）
深度分析方向：
常规题最优组合：甲（逻辑）+丁（计算）的能力乘积达9×9=81
开放题创新组合：乙（创新9）+丙（校验9）形成互补
综合题角色覆盖：需确保每个角色维度至少有1名队员得分≥7
转换成本案例：队员乙从创新角色转为计算角色，差异值=8-6=2，适应时间4分钟
5.危机应对策略
竞赛中出现以下突发状况，请制定应对方案：
（1）核心队员甲在第80分钟突发不适，其负责的难题（剩余25分钟工作量）需移交
（2）发现已完成的3道题中存在系统性计算错误（需12分钟修正）
（3）剩余时间仅90分钟，还需完成2道未开始的题目（标准耗时45分钟/道）
要求：
（1）用决策树法展示3个方案的选择过程
（2）计算各方案的风险系数（成功概率×收益值）
（3）包含1项预防性措施和1项应急资源储备建议
方案设计框架：
方案A：紧急移交+并行修正（风险系数0.7×85=59.5）
步骤：乙接手难题（25×1.2=30分钟），丙丁修正错误（12分钟），戊启动新题
优势：最大化并行工作，劣势：人员负荷率达120%
方案B：放弃修正+全力攻坚（风险系数0.4×100=40）
步骤：放弃错误题目，集中力量完成剩余题目
优势：降低复杂度，劣势：损失已得分数
预防性措施：建立双轨计算机制，关键步骤同步生成2套计算过程
应急储备：准备5道快速得分题思路模板，可在20分钟内完成
三、综合应用题（20分）
6.团队效能评估体系
某竞赛组委会拟建立团队协作评
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