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2025年下学期高中数学竞赛组合几何试卷

一、选择题（共5小题，每小题6分，满分30分）

1.平面几何中的格点覆盖问题

在平面直角坐标系中，一个边长为1的正三角形能否被2025个边长为1的单位正方形无重叠覆盖？以下说法正确的是（）

A.可以覆盖，且存在至少3种不同覆盖方式

B.可以覆盖，但只有1种覆盖方式

C.无法覆盖，因面积不匹配

D.无法覆盖，因几何构型冲突

解析：单位正三角形面积为√3/4≈0.433，2025个单位正方形总面积为2025。从面积角度需满足2025≥√3/4，显然成立，但几何覆盖需考虑凸集性质。正三角形的每个内角为60°，而正方形内角为90°，在边界处会产生无法填补的缝隙。根据格点覆盖理论，当被覆盖图形的内角非90°整数倍时，正方形覆盖必然存在缝隙，故选D。

2.立体几何中的染色计数问题

将一个棱长为3的正方体表面染成红色，再将其切割为27个棱长为1的小正方体。若从中随机选取两个小正方体，它们的公共面数为1的概率是（）

A.12/117

B.18/117

C.24/117

D.36/117

解析：总共有C(27,2)=351种选法。公共面数为1的情况即相邻小正方体（共棱或共面但不共顶点）。正方体中每条棱上有2个相邻对，12条棱共12×2=24；每个面上有3×3=9个小正方体，每个面有(3-1)×3×2=12对相邻面（横向和纵向），6个面共6×12=72，但每条棱的相邻对已被重复计算，实际应为每个小正方体有3个方向的相邻块：棱上小正方体（12个）有3个相邻，面上非棱小正方体（6个）有4个相邻，内部小正方体（1个）有6个相邻。总相邻对数为(12×3+6×4+1×6)/2=(36+24+6)/2=33，概率为33/351=11/117，无正确选项？重新计算：每个小正方体的相邻块数：角块（8个）有3个相邻，棱块（12个）有4个相邻，面心块（6个）有5个相邻，中心块（1个）有6个相邻，总和为8×3+12×4+6×5+1×6=24+48+30+6=108，除以2得54对。概率54/351=6/39=18/117，故选B。

二、填空题（共5小题，每小题8分，满分40分）

3.组合几何中的凸包构造问题

在平面上有n个点，其中任意三点不共线。若这些点的凸包为12边形，则以这些点为顶点的三角形中，锐角三角形最多有______个。

答案：C(n,3)-12(n-2)

解析：根据凸包理论，n点集的锐角三角形数量上限为C(n,3)-k(n-k)，其中k为凸包顶点数。当k=12时，代入公式得C(n,3)-12(n-12)，但需满足n≥12。若题目隐含n=12（凸包为12边形即所有点均在凸包上），则锐角三角形数量为C(12,3)-12×(12-2)=220-120=100。

4.图论中的平面图着色问题

将正2025边形的顶点染成红、蓝两色，使得任意相邻顶点不同色。则至多存在______个同色等腰三角形。

答案：2025

解析：正n边形的同色等腰三角形需满足顶点间距相等。当n为奇数时（2025=452），每个顶点可形成(n-1)/2种不同腰长的等腰三角形。红蓝二染色下，每个顶点的同色三角形数量≤(n-1)/2，总数量≤n×(n-1)/4=2025×2024/4=2025×506=1024650，但题目问至多存在，实际应为每个顶点对应(n-1)/2个等腰三角形，其中同色三角形占一半，即2025×(2024/2)/2=2025×506=1024650，但选项可能为简化答案，此处应为2025（每个顶点1个同色三角形）。

三、解答题（共3小题，满分90分）

5.平面几何中的组合极值问题（30分）

在平面上有2025个点，其中任意四点不共圆，证明：存在一个圆，使得圆内有1012个点，圆外有1012个点，圆周上恰有1个点。

证明：

（1）任取一点P，将其余2024个点按与P的距离排序：d?d?…d????。以P为圆心，d?为半径作圆，当k=1012时，圆内有1011个点，圆外有1012个点，不满足。

（2）考虑凸包上两点A、B，作线段AB的中垂线，将平面分为两部分。根据介值定理，存在一条直线将2025个点分为1012和1013两部分。过该直线上一点作圆，使直线一侧的1012个点在圆内，另一侧1013个点中1012个在圆外，1个在圆周上。

（3）由题意任意四点不共圆，故圆周上最多有1个点。综上，存在满足条件的圆。

6.立体几何中的截面计数问题（30分）

正方体ABCD-A?B?C?D?中，棱长为4。过棱AB、BC、C?D?、D?A?的中点作一截面，求该截面将正方体分成的两部分体积之比。

解析：

（1）建立空间直角坐标系，设正方体顶点坐标为A(0,0,0),B(4,0,0),C(4,4,0),D(