中考数学 二次函数的图象抛物线中三角形存在性问题探究（解析版）中考复习提优重难点拓展训练.pdfVIP

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二次函数的图象抛物线中三角形存在性问题探究（解析版）

专题诠释：

二次函数的图象抛物线中三角形存在性问题关键是要分类讨论，以防漏解。等腰三角

形的存在可以根据“两圆一中垂”确定第三个点的位置，直角三角形可以根据直角顶点确

定第三个点的的位置。主要解题策略：两线段相等或两边的平方和等于斜边的平方可以用

两点间距离公式或勾股定理利方程，两直线垂直也可以用k·k＝－1立方程。

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类型一抛物线中等腰三角形存在性问题

1．（2024秋•江油市期末）我们知道画函数图象的步骤为列表、描点、连线．

（1）请在给定的坐标系中画出二次函数y＝x2﹣2x﹣3的图象．

（2）观察图象，当x＜﹣1时，y的范围是y＞0，当y＜0时x的范围是﹣1＜x＜3．

（3）设二次函数的顶点为M，在x轴上是否存在点P，使三角形OPM是等腰三角形，若存在，请求出P

点的坐标，若不存在，请说明理由．

【思路引领】（1）取点描点连线即可求解；

（2）观察函数图象即可求解；

（3）当PM＝PO时，列出等式即可求解；当PM＝OM或OM＝OP时，同理可解．

【完整解答】解：（1）由抛物线的表达式知，其顶点为：（1，﹣4），

抛物线和x轴的交点坐标为（﹣1，0）、（3，0），

当x＝0时，y＝﹣3，当x＝2时，y＝﹣3，

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根据上述5个点描点连线绘制图形如下：

（2）∵x2﹣2x﹣3＝0，则x＝3或﹣1，

∴当x＜﹣1时，y＞0，

当y＜0时，﹣1＜x＜3，

故答案为：y＞0，﹣1＜x＜3；

（3）存在，理由：

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∵y＝x﹣2x﹣3＝（x﹣1）﹣4，

∴M（1，﹣4），

22222

由点P、O、M的坐标得，PM＝（x﹣1）+16，PO＝x，OM＝17，

当PM＝PO时，

1717

22

则（x﹣1）+16＝x，则x=，则点P（，0）；

22

当PM＝OM或OM＝OP时，

22

同理可得：（x﹣1）+16＝17或x＝17，

则x＝2或±17，

即点P（2，0）或（17，0）或（−17，0），

17

综上，P（，0）或（2，0）或（17，0）或（−17，0）．

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【总结提升】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到等腰三角形的性质，函数作图，解不等式等，分

类求解是解题的关键．

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2．（2024秋•大足区期末）如图1，抛物线y＝x+bx+c交x轴于点A（﹣5，0）和点B，交y轴于点C（0，

﹣5）．

（1）求抛物线的函数表达式；

（2）如图2，若点P是线段AC上的一动点，作PQ⊥x轴，交抛物线于点Q，当PQ最大时，在抛物线

对称轴上找一点M，使QM+AM的值最小，求出此时点M的坐标；

（3）若点P在直线AC上的运动过程中，是否存在点P，使△ABP为等腰三角形？若存在，直接写出点

P的坐标；若不存在，请说明理由．

【思路引领】（1）将A、C两点坐标代入解析式即可求解b、c的值；

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