2025年新高考数学专题4-1抽象函数七大题型汇总（解析版）.docxVIP

专题4-1抽象函数七大题型汇总

TOC\o1-3\h\z\u题型1抽象函数的定义域 1

题型2抽象函数求值 3

题型3抽象函数解不等式 8

题型4抽象函数求解析式 13

题型5抽象函数的值域 18

题型6抽象函数的单调性 24

题型7抽象函数的奇偶性 32

题型1抽象函数的定义域

【方法总结】

对于抽象函数定义域原则为括号里范围相同。

【例题1】（2023上·甘肃白银·高一甘肃省靖远县第一中学校考期末）已知函数y=fx的定义域是-1,3，则

A．0,2 B．-1,3 C．0,4 D．

【答案】A

【分析】根据抽象函数定义域之间的关系即可得到结论.

【详解】因为函数y=fx

所以-1≤2x-

故函数y=f2

故选：A.

【变式1-1】1.（2022上·北京·高一北京市第一六一中学校考阶段练习）已知fx的定义域为1,2，则fx

【答案】-

【分析】利用抽象函数的定义域求法，通过同一题中相同函数符号的括号内范围相同得出fx中x∈1,2，即可解出答案，注意定义域是自变量

【详解】∵fx的定义域为

∴在fx中x∈1,2，解得x

∴fx的定义域为

故答案为：-2,-1

【变式1-1】2.（2023上·安徽阜阳·高一阜阳市第三中学校考期中）若函数fx的定义域为0,4，则函数gx

【答案】2,5

【分析】根据fx的定义域列出不等式，求解即可

【详解】函数fx的定义域为0,4，得0≤x-

所以函数gx=f

故答案为：2,5.

【变式1-1】3.（2023上·河南·高一校联考期中）已知函数fx的定义域为0,4，则函数y=

【答案】-

【分析】根据抽象函数定义域的求法计算即可.

【详解】令0≤x2≤4，解得-2≤x

故答案为：-2,2

【变式1-1】4.（2023上·山东潍坊·高一统考期中）已知函数y=fx的定义域为-2,5

【答案】[-

【分析】应用求解抽象函数的定义域的方法即可.

【详解】函数y=fx

则-2≤2x-1≤5

则函数y=f2

故答案为：[-

题型2抽象函数求值

【方法总结】

抽象函数大题，基本技巧是赋值，有如下规律技巧：

1．第一层次赋值：常常令字母取0，-1，1．

2．第二层次赋值：若题中有条件f（x0

3．第三层次赋值：拆分赋值．根据抽象式子运算，把赋值数拆成某两个值对应的和与积（较多）或者差与商（较少）．如4=2X2，8=4X2；拆成和，3=1+2=1+1+2等等

【例题2】（2021·全国·高一专题练习）已知函数f(x)满足f(xy)=f(x)+f(y)且x，y∈R，则

A．0 B．1 C．12 D．

【答案】A

【分析】令x=y=1，可得f(1)=0，再令

【详解】解：∵函数f(x)满足f(xy

令x=y=1，则f（1）=f（1）

∴f（1）

令y=1x，则f（

∴f(13)+f（3）=0

∴f(13)+f(12)+f（

故选：A．

【变式2-1】1.（2015上·上海徐汇·高一位育中学校考期中）对x∈R，y∈R，已知fx+

【答案】4030

【分析】在已知等式f(x+y)=f(

【详解】令y=1，则f(x+1)=f

即f(

则f(2)

故答案为：4030．

【点睛】本题主要考查函数值的计算，利用赋值法是解决抽象函数的常用方法，是中档题．

【变式2-1】2.（2020上·安徽安庆·高一安徽省怀宁中学校考阶段练习）若对任意的x,y∈R，有fx+

【答案】6

【解析】先利用赋值法计算fx+f-x=6

【详解】依题意，取x=y=0，则f

取y=-x，则fx

令h(x)=xx2+1，则gx=

故答案为：6.

【点睛】本题考查了抽象函数的函数值求法，考查了奇函数的定义，属于中档题.

【变式2-1】3.（2018·重庆·高一重庆南开中学校考期中）已知函数f(x)对任意的实数x，y都满足f(x+y

【答案】-

【分析】可令x＝y＝0，计算可得f（0）＝1，再令x＝y＝1，求得f（2）；令x＝0，y＝1，求得f（﹣1），再令x＝y＝﹣1，求得f（﹣2），即可得到所求和．

【详解】对任意的实数x，y都满足f（x+y）+f（x﹣y）＝2f（x）f（y）且f（1）=1

令x＝y＝0，可得f（0）+f（0）＝2f（0）f（0），

可得f（0）＝0或f（0）＝1，

若f（0）＝0，可令y＝0，则f（x）+f（x）＝2f（x）f（0）＝0，即f（x）＝0，这与f（1）=1

则f（0）＝0不成立，则f（0）＝1，

令x＝y＝1，可得f（2）+f（0）＝2f（1）f（1），

可得f（2）＝2×14-

令x＝0，y＝1可得f（1）+f（﹣1）＝2f（0）f（1），

即有f（﹣1）＝2×1×1

令x＝y＝﹣1可得f（﹣2）+f（0）＝2f（﹣1）f（﹣1），

即有f（﹣2）＝2×14