中考数学 旋转中的全等三角形模型（解析版）中考复习提优重难点拓展训练.pdfVIP

中考数学

旋转中的全等三角形模型（解析版）

类型一对角互补模型

（1）正方形或等腰直角三角形中的半角模型

1．（2024秋•江油市期末）已知，如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，点E、F分别是斜边AB

上的两点，且∠FCE＝45°．

（1）现将CF绕点C顺时针旋转90°到CD，连结AD，DF请判定△ADF的形状，证明你的结论．

（2）若EF＝5，BF＝4，求DF的长．

【思路引领】（1）由SAS可证△BCF≌△ACD，可得AD＝BF，∠CAD＝∠CBA＝45°，即可求解；

（2）由旋转的性质可得∠FCD＝90°，由SAS可证△ECF≌△ECD，可得DE＝EF，由勾股定理可求

解．

【解答】解：（1）△ADF是直角三角形，理由如下：

在△BCF和△ACD中，

=

∠=∠

=

∴△BCF≌△ACD（SAS），

∴AD＝BF，∠CAD＝∠CBA＝45°，

∴∠BAD＝90°，

∴△ADF为直角三角形；

（2）∵将CF绕点C顺时针旋转90°到CD，

∴∠FCD＝90°，

∵∠FCE＝45°，

∴∠ECF＝∠ECD，

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在△ECF和△ECD中，

=

∠=∠，

=

∴△ECF≌△ECD（SAS），

∴ED＝EF，

=2−2=3

在Rt△DAE中，由勾股定理可得：，

=42+82=45

∴．

【总结提升】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，灵活运用这些性质是解题

的关键．

2．（2024秋•岷县期中）如图，在正方形ABCD中，E，F是对角线BD上的两点，且∠EAF＝45°，将△ADF

绕点A顺时针旋转90°得到△ABQ，连接EQ．

（1）求证：EQ＝EF．

（2）求∠QBE的度数．

【思路引领】（1）由旋转的性质得QB＝DF，AQ＝AF，∠BAQ＝∠DAF，由∠EAF＝45°可得∠QAE＝

45°，然后根据SAS证明△AQE≌△AFE，即可得出EQ＝EF．

（2）由正方形性质可得∠ABD＝∠ADB＝45°，结合∠ADF＝∠ABQ＝45°即可得出∠QBE＝∠ABD+∠

ABQ＝90°．

【解答】（1）证明：∵正方形ABCD，

∴∠BAD＝90°，AB＝AD，

∵将△ADF绕点A顺时针旋转90°后，得到△ABQ，

∴AQ＝AF，∠QAF＝90°，∠ADF＝∠ABQ，

∵∠EAF＝45°，

∴∠QAE＝∠QAF﹣∠EAF＝90°﹣45°＝45°，

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∴∠FAE＝∠QAE，

在△AQE和△AFE中，

=

∠=∠，

=

∴△AQE≌△AFE（SAS），

∴QE＝EF．

（2）解：∵四这形ABCD是正方形，

∴∠ADB＝∠ABD＝45°，

由旋转得到：∠ABQ＝∠ADF＝45°，

∴∠QBE＝∠ABD+∠ABQ＝45°+45°＝90°．

【总结提升】本题主要考查了旋转的性质，正方形的性质，全等三角形的判定与性质，旋转前后的两个

三角形的对应边相等，对应角相等这是解题的关键．

类型二120°的等腰三角形夹60°的半角模型

3．（2023秋•应县期末）如图△ABC是等边三角形，BD＝CD，∠BDC＝120°，点E，F分别在AB，AC上，

且∠EDF＝60°．