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2025年专升本宁夏回族自治区高等数学考试试题及答案

一、选择题（每题5分，共25分）

1.设函数f(x)=3x^32x^2+5，求f(1)的值。

A.7

B.8

C.9

D.10

答案：B

解析：f(x)=9x^24x，代入x=1得f(1)=94=5，故选B。

2.设函数y=e^x·cosx，求y的值。

A.e^x·cosx

B.e^x·(cosxsinx)

C.e^x·(cosx+sinx)

D.e^x·(2cosxsinx)

答案：C

解析：y=e^x·cosxe^x·sinx，y=e^x·cosx+e^x·sinx+e^x·(sinx)e^x·cosx=e^x·(cosx+sinx)，故选C。

3.设函数f(x)=x^23x+2，求函数的极值点。

A.x=1

B.x=2

C.x=3

D.无极值点

答案：A

解析：f(x)=2x3，令f(x)=0得x=1.5，代入f(x)=2，得f(1.5)0，故x=1是函数的极小值点，选A。

4.计算定积分∫_0^π(sinx)^2dx的值。

A.π/4

B.π/2

C.π

D.2π

答案：A

解析：利用三角恒等式sin^2x=(1cos2x)/2，得∫_0^π(sinx)^2dx=∫_0^π(1cos2x)/2dx=π/2[1/2·sin2x]_0^π=π/4，故选A。

5.设向量a=(2,3,4)，向量b=(1,1,2)，求a与b的点积。

A.5

B.6

C.7

D.8

答案：B

解析：a·b=2×1+3×(1)+4×2=23+8=7，故选B。

二、填空题（每题5分，共25分）

1.设函数f(x)=x^33x^2+4，求f(x)=_______。

答案：3x^26x

2.设函数y=ln(2x1)，求y=_______。

答案：2/(2x1)

3.设函数f(x)=e^x·sinx，求f(x)=_______。

答案：e^x·(sinx+cosx)

4.计算定积分∫_1^4(x^23x+2)dx的值=_______。

答案：15

5.设向量a=(3,4,5)，向量b=(2,3,1)，求a×b=_______。

答案：(1,17,6)

三、解答题（共50分）

1.（10分）求函数f(x)=x^33x^2+4在区间[0,4]上的最大值和最小值。

解答：f(x)=3x^26x，令f(x)=0得x=0和x=2。计算f(0)=4，f(2)=4，f(4)=4。所以，最大值为4，最小值为4。

2.（15分）计算定积分∫_0^π/2e^x·cosxdx。

解答：利用分部积分法，令u=e^x，dv=cosxdx，得du=e^xdx，v=sinx。所以，∫_0^π/2e^x·cosxdx=e^x·sinx|_0^π/2∫_0^π/2e^x·sinxdx=e^π/2∫_0^π/2e^x·sinxdx。解得∫_0^π/2e^x·cosxdx=e^π/4/2。

3.（15分）设向量a=(2,3,4)，向量b=(1,1,2)，求a与b的夹角。

解答：a·b=2×1+3×(1)+4×2=7，|a|=√(2^2+3^2+4^2)=√29，|b|=√(1^2+(1)^2+2^2)=√6。所以，cosθ=a·b/(|a|·|b|)=7/(√29·√6)=√42/29，θ=arccos(√42/29)。

4.（10分）求级数∑_{n=1}^∞(1/n^2)的和。

解答：利用级数收敛公式，得∑_{n=1}^∞(1/n^2)=π^2/6。