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2025年专升本宁夏高数一考试试题及答案

一、选择题（每题5分，共25分）

1.设函数f(x)=x^33x+1，则f(x)=0的实数根个数为（）

A.1个

B.2个

C.3个

D.4个

答案：B

解析：求导f(x)=3x^23。令f(x)=0，得x^21=0，解得x=±1。因此，f(x)=0有两个实数根。

2.若lim(x→0)(1cosx)/x^2=A，则A的值为（）

A.0

B.1/2

C.1

D.2

答案：B

解析：利用等价无穷小替换，1cosx≈1/2x^2，所以lim(x→0)(1cosx)/x^2=lim(x→0)(1/2x^2)/x^2=1/2。

3.设函数f(x)=e^x，则f(x)+f(x)=（）

A.e^x

B.2e^x

C.3e^x

D.4e^x

答案：C

解析：求导f(x)=e^x，f(x)=e^x。所以f(x)+f(x)=e^x+e^x=2e^x。

4.设函数y=x^2e^x，求y时，下列正确的是（）

A.y=2e^x+2xe^x

B.y=2e^x+4xe^x

C.y=2e^x+6xe^x

D.y=2e^x+8xe^x

答案：C

解析：求导y=2xe^x+x^2e^x，y=(2e^x+2xe^x)+(2xe^x+x^2e^x)=2e^x+4xe^x+x^2e^x=2e^x+6xe^x。

5.设函数f(x)=sinx+cosx，在区间[0,π]上，f(x)的最大值为（）

A.1

B.√2

C.2

D.π

答案：B

解析：求导f(x)=cosxsinx。令f(x)=0，得x=π/4。将x=π/4代入f(x)，得f(π/4)=√2。因为f(x)在[0,π]上单调，所以f(x)的最大值为√2。

二、填空题（每题5分，共25分）

6.设函数f(x)=x^23x+2，求f(x)的单调递增区间为______。

答案：[2,+∞)

7.若lim(x→∞)(x^2+1)/(x^21)=A，则A的值为______。

答案：1

8.设函数f(x)=e^xe^(x)，求f(x)=______。

答案：e^x+e^(x)

9.设函数y=lnx，求y时，y=______。

答案：1/x^2

10.设函数f(x)=tanx，求f(x)在区间[0,π/2]上的最大值和最小值分别为______。

答案：最大值为1，最小值为0

三、解答题（共50分）

11.（本题10分）求函数f(x)=x^36x+9在区间[2,4]上的最大值和最小值。

答案：最大值为9，最小值为3

解析：求导f(x)=3x^26。令f(x)=0，得x=±1。将x=2,1,1,4代入f(x)，得f(2)=5，f(1)=16，f(1)=4，f(4)=13。所以f(x)在区间[2,4]上的最大值为9，最小值为3。

12.（本题10分）设函数f(x)=x^2e^x，求f(x)。

答案：f(x)=(2+4x+x^2)e^x

解析：求导f(x)=2xe^x+x^2e^x，f(x)=(2e^x+2xe^x)+(2xe^x+x^2e^x)=(2+4x+x^2)e^x。

13.（本题15分）设函数f(x)=sinxcosx，求f(x)在区间[0,2π]上的最大值和最小值。

答案：最大值为1，最小值为1

解析：求导f(x)=cosx+sinx。令f(x)=0，得x=π/4,5π/4。将x=0,π/4,5π/4,2π代入f(x)，得f(π/4)=1，f(5π/4)=1，f(0)=f(2π)=0。所以f(x)在区间[0,2π]上的最大值为1，最小值为1。

14.（本题15分）已知函数f(x)=x^33x+a，求实数a的值，使得f(x)在区间(∞,+∞)内有两个不同的实数根。

答案：a=0

解析：求导f(x)=3x^23。令f(x)=0，得x=±1。将x=1,1代入f(x)，得f(1)=2+a，f(1)=2+a。要使f(x)在区间(∞,+∞)内有两个不同的实数根，即f(1)和f(1)异号，所以a=0。此时f(x)=x^3