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2025年专升本宁夏回族自治区数学（文科）考试试题及答案

一、选择题（每题5分，共25分）

1.已知函数f(x)=x^22x+1，则f(x)的最小值是（）

A.0

B.1

C.1

D.2

答案：B

解析：将f(x)写成完全平方形式：f(x)=(x1)^2，显然当x=1时，f(x)取得最小值1。

2.设函数f(x)=|x2|+|x+3|，求f(x)的最小值（）

A.5

B.6

C.7

D.8

答案：A

解析：当x在[3,2]区间内时，f(x)=5，所以f(x)的最小值为5。

3.已知等差数列{an}的前n项和为S_n=2n^2+3n，求首项a_1的值（）

A.5

B.6

C.7

D.8

答案：A

解析：当n=1时，S_1=a_1=21^2+31=5。

4.若直线y=kx+b与圆x^2+y^2=1相切，则满足条件的实数对(k,b)的个数是（）

A.0

B.1

C.2

D.无限多

答案：C

解析：直线与圆相切，则判别式D^24E=0，其中D=k^2+b^21，E=2kb。解得k^2=1b^2，所以有两个满足条件的实数对(k,b)。

5.若函数f(x)=(xa)^2+(xb)^2的最小值是4，则a与b的关系是（）

A.a=b

B.a+b=2

C.ab=2

D.a^2+b^2=4

答案：B

解析：f(x)的最小值在x=(a+b)/2处取得，此时f(x)=(ab)^2/4+4。因为f(x)的最小值是4，所以(ab)^2/4=0，即a+b=2。

二、填空题（每题5分，共25分）

1.已知函数f(x)=x^33x^2+4x1，求f(x)的极值点。

答案：x=1，x=2

2.若等差数列{an}的通项公式为an=2n1，求该数列的前10项和。

答案：S_10=100

3.已知函数f(x)=3x^34x^2+2x1，求f(x)的导数f(x)。

答案：f(x)=9x^28x+2

4.若直线y=2x+3与圆x^2+y^2=4相切，求切点的坐标。

答案：(1,5)

5.已知函数f(x)=|x1|+|x+2|，求f(x)在区间[3,4]内的最大值。

答案：5

三、解答题（共50分）

1.（15分）已知函数f(x)=x^33x^2+4x1，求f(x)的单调区间。

解析：求导数f(x)=3x^26x+4，令f(x)=0，解得x=1，x=2/3。当x1/3时，f(x)0，f(x)单调递增；当1/3x1时，f(x)0，f(x)单调递减；当x1时，f(x)0，f(x)单调递增。

2.（15分）已知等差数列{an}的前n项和为S_n=2n^2+3n，求该数列的通项公式。

解析：当n=1时，S_1=a_1=5。当n≥2时，an=S_nS_{n1}=(2n^2+3n)(2(n1)^2+3(n1))=4n1。所以an=4n1。

3.（20分）已知直线y=kx+b与圆x^2+y^2=1相切，求k与b的关系。

解析：将直线方程代入圆的方程，得到(k^2+1)x^2+2kbx+(b^21)=0。因为直线与圆相切，所以判别式D^24E=0，其中D=(2kb)^2，E=(k^2+1)(b^21)。解得k^2=1b^2，即k^2+b^2=1。