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2025年专升本宁夏回族自治区高数二考试试题及答案

一、选择题（每题5分，共25分）

1.设函数f(x)=x^36x^2+9x+1，则f(x)=0的解为（）

A.x=1

B.x=2

C.x=3

D.x=1和x=3

答案：D

解析：对f(x)求导，得f(x)=3x^212x+9。令f(x)=0，解得x=1和x=3。

2.设函数y=2e^x3lnx+4，则y(x)=（）

A.2e^x

B.2e^x3/x^2

C.2e^x6/x^2

D.2e^x+3/x^2

答案：C

解析：对y求一阶导数，得y=2e^x3/x。再对y求导，得y=2e^x+3/x^2。

3.设函数f(x)=sin^2(x)+cos^2(x)，则f(x)=（）

A.0

B.2sin(x)cos(x)

C.2sin(x)cos(x)

D.1

答案：A

解析：由于sin^2(x)+cos^2(x)=1，所以f(x)为常数函数，导数为0。

4.设函数f(x)=x^2e^x，则f(x)=（）

A.2xe^x+x^2e^x

B.2xe^x+2x^2e^x

C.x^2e^x+2xe^x+e^x

D.x^2e^x+2xe^x+2e^x

答案：C

解析：对f(x)求一阶导数，得f=2xe^x+x^2e^x。再对f求导，得f=x^2e^x+2xe^x+e^x。

5.设函数f(x)=ln(x^2)，则f(x)=（）

A.2/x

B.2/x^2

C.1/x

D.1/x^2

答案：B

解析：对f(x)求导，得f(x)=2ln(x)1/x=2/x。

二、填空题（每题5分，共25分）

1.函数f(x)=x^24x+3的极值点为______。

答案：x=2

解析：对f(x)求导，得f(x)=2x4。令f(x)=0，解得x=2。求二阶导数f(x)=2，大于0，所以x=2是极小值点。

2.函数f(x)=x^33x^2+4在x=2处的切线斜率为______。

答案：1

解析：对f(x)求导，得f(x)=3x^26x。将x=2代入，得f(2)=32^262=1212=0。所以切线斜率为0。

3.函数f(x)=e^xx^2在x=0处的二阶导数为______。

答案：1

解析：对f(x)求一阶导数，得f(x)=e^x2x。再对f求导，得f(x)=e^x2。将x=0代入，得f(0)=e^02=12=1。

4.函数f(x)=sin(2x)+3cos(2x)的周期为______。

答案：π

解析：由于sin(2x)和cos(2x)的周期均为π，所以f(x)的周期也为π。

5.设函数f(x)=2x^33x^2+x+1，则f(x)在区间(0,3)内有几个极值点？答案是______。

答案：2

解析：对f(x)求导，得f(x)=6x^26x+1。令f(x)=0，解得x=1和x=1/3。求二阶导数f(x)=12x6，将x=1和x=1/3分别代入，得f(1)=60，f(1/3)=40。所以x=1和x=1/3分别是极大值点和极小值点，共有2个极值点。

三、解答题（每题20分，共40分）

1.设函数f(x)=x^33x^2+4，求f(x)的极值点和极值。

解：对f(x)求导，得f(x)=3x^26x。令f(x)=0，解得x=0和x=2。求二阶导数f(x)=6x6，将x=0和x=2分别代入，得f(0)=60，f(2)=60。所以x=0是极大值点，x=2是极小值点。将x=0和x=2代入f(x)，得f(0)=4，f(2)=2。所以f(x)的极大值为4，极小值为2。

2.设函数f(x)=e^x2x，求f(x)的单调区间。

解：对f(x)求导，得f(x)=e^x2。令f(x)0，解得xln2。令f(x)0，解得xln2。所以f(x)的单调递增区间为xln2，单调递减区间为xln2。