2026年高考数学一轮复习第五章第04讲 复数（复习讲义+专项训练）（解析版+原卷版）.docxVIP

第04讲复数

目录

01TOC\o1-3\h\u考情解码?命题预警 1

02体系构建·思维可视 3

03核心突破·靶向攻坚 4

知能解码 4

知识点1复数的概念 4

知识点2复数的运算 5

知识点3复数的几何意义 6

知识点4复数的三角形式 7

题型破译 7

题型1复数的概念 8

题型2复数的分类 11

题型3共轭复数 14

题型4复数的几何意义 16

题型5复数的四则运算 17

题型6复数的高次方计算 19

题型7与复数模相关的轨迹（图形)问题 21

题型8复数范围内解方程 23

题型9复数的三角表示* 25

04真题溯源·考向感知 27

05课本典例·高考素材 29

考点要求

考察形式

2025年

2024年

2023年

（1）数系的扩充与复数的引入

（2）复数代数形式的四则运算

?单选题

?多选题

?填空题

?解答题

全国一卷，第1题，5分；

全国二卷，第2题，5分；

北京卷，第2题，4分；

天津卷，第10题，5分；

新课标I卷，第2题，5分；

新课标II卷，第1题，5分；

甲卷理科，第1题，5分；

上海卷，第9题，5分；

天津卷，第10题，5分；

新课标I卷，第2题，5分；

新课标II卷，第1题，5分；

甲卷理科，第2题，5分；

甲卷理科，第1题，5分；

北京卷，第2题，5分；

天津卷，第10题，5分；

考情分析：

1.复数在高考中是每年必考内容，命题较为稳定，难度较低，主要以选择题形式出现，通常位于前2题

2.复数的四则运算作为复数部分的核心内容，是考查的重点之一。主要考查学生对复数加、减、乘、除运算法则的掌握程度。

复习目标：

1.通过方程的解，认识复数；

2.理解复数代数表示及其几何意义；

3.掌握复数的四则运算，了解加减法的几何意义。

知识点1复数的概念

1、复数的定义：形如a＋bi(a，b∈R)的数叫做复数，实部是eq\a\vs4\al(a)，虚部是eq\a\vs4\al(b)．

2、虚数单位：把平方等于－1的数用符号i表示，规定i2＝－1，我们把i叫作虚数单位．

3、复数集：①定义：全体复数所成的集合．②表示：通常用大写字母C表示．

4、复数的分类：任意一个复数都由它的实部与虚部唯一确定，虚部为0的复数实际上是一个实数．

（1）

（2）复数集、实数集、虚数集、纯虚数集之间的关系

5、复数相等：a＋bi与c＋di相等的充要条件是a＝c且b＝d．

6、共轭复数：如果两个复数的实部相等，而虚部互为相反数，则这两个复数叫做互为共轭复数．

复数z的共轭复数用eq\x\to(z)表示，即当z＝a＋bi(a，b∈R)时，eq\x\to(z)＝a－bi．

自主检测下列关于复数的说法，正确的是（???）

A．复数的任何偶数次幂都不小于零

B．若实数，则是纯虚数

C．在复平面内，虚轴上的点对应的复数均为纯虚数

D．若复数满足，则均为实数

【答案】D

【分析】根据复数的概念及分类，逐项判定，即可看求解.

【详解】对于A中，由虚数单位，可得A错误；

对于B中，若，那么，所以B错误；

对于C中，虚轴上的点对应复数，所以C错误；

对于D中，若复数满足，虚数不能比较大小，则均为实数，D正确.

故选：D.

知识点2复数的运算

1、复数的运算法则

设，(a，b，c，d∈R)，则：

（1）加法：z1＋z2＝(a＋bi)＋(c＋di)＝(a＋c)＋(b＋d)i；

（2）减法：z1－z2＝(a＋bi)－(c＋di)＝(a－c)＋(b－d)i；

（3）乘法：z1·z2＝(a＋bi)(c＋di)＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i；

（4）除法：

2、复数运算的几个重要结论

（1）|z1＋z2|2＋|z1－z2|2＝2(|z1|2＋|z2|2)；（2）eq\x\to(z)·z＝|z|2＝|eq\x\to(z)|2.

（3）若z为虚数，则|z|2≠z2.（4）(1±i)2＝±2i.

（4）eq\f(1＋i,1－i)＝i；eq\f(1－i,1＋i)＝－i.

3、虚数单位i的乘方

计算复数的乘积要用到虚数的单位i的乘方，in有如下性质：

i1＝i，i2＝－1，i3＝i·i2＝－i，i4＝i3·i＝－i·i＝1，

从而对于任何n∈N＋，都有i4n＋1＝i4n·i＝(i4)n·i＝i，

同理可证i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i，i4n＋4＝1.

这就是说，如果n∈N＋，那么有i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i，i4n＋4＝1．

由此可进一步得(1＋i)2＝2i，(1－i)