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第五章平面向量与复数
（考试时间：120分钟试卷满分：150分）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第一部分（选择题共58分）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知为虚数单位，复数，则的共轭复数（????）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】利用复数的乘法及除法运算化简复数，再根据共轭复数定义判断即可.
【详解】因为.
所以.
故选：C.
2．已知向量，若，则（????）
A． B． C．1 D．2
【答案】D
【分析】根据向量垂直的坐标运算可求的值.
【详解】因为，所以，
所以即，故，
故选：D.
3．已知复数z满足，则（???）
A． B． C．4 D．8
【答案】B
【分析】先求出复数，再根据复数模的公式即可求出．
【详解】由可得，，所以，
故选：B.
4．在中，点在边上，且，则（???）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】由向量的线性运算即可求解.
【详解】如图，.
故选：B.
5．已知是关于的方程在复数范围内的一个根，则实数（????）
A．4 B． C．2 D．
【答案】B
【分析】利用一元二次方程两虚根共轭，得到方程另一根，最后利用韦达定理得到答案
【详解】是方程的一个根.是方程的另一个根.
则由韦达定理得：，解得：
故选：B
6．任何一个复数（其中a，，i为虚数单位）都可以表示成（其中，）的形式，通常称之为复数z的三角形式，法国数学家棣莫弗发现，我们称这个结论为棣莫弗定理.若复数为纯虚数，则正整数m的最小值为（???）
A．4 B．6 C．8 D．10
【答案】A
【分析】根据复数新定义计算，再结合纯虚数定义列式求解.
【详解】，
由棣莫弗定理可得，
因为复数为纯虚数，
所以且，所以，，得，，
所以正整数m的最小值为4.
故选：A.
7．已知复数满足，则的取值范围为（???）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据复数的几何意义以及模长，可得对应点的轨迹，根据圆外一点到圆上点的距离，可得答案.
【详解】由，可知在复平面内对应点在以为圆心，为半径的圆上，
由可表示为复数对应的点到复平面原点的距离，且，
则，所以的取值范围为.
故选：A.
8．对任意两个非零向量，，定义新运算：，表示向量，的夹角.若非零向量，满足，向量，的夹角，且和都是集合中的元素，则的取值集合为（????）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据向量的新定义结合向量的数量积运算、三角函数的取值范围即可得的取值集合.
【详解】依题意，，而，，则，，
于是，显然存在，，则，
因此，即，则，
显然，即，
从而，因此，
又存在，使得，即，解得，则，
所以的取值集合为.
故选：A.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．已知复数，则（????）
A． B．
C．的虚部为 D．在复平面内对应的点位于第二象限
【答案】ABC
【分析】根据复数的乘法计算，判断A的真假，根据复数的模的概念判断B的真假，计算，根据虚部的概念判断C的真假，计算，根据复数的几何意义判断D的真假.
【详解】对A：因为，故A正确；
对B：因为，故B正确；
对C：因为，所以的虚部为，故C正确；
对D：，所以在复平面内对应的点位于第四象限，故D错误.
故选：ABC
10．若向量，满足，，则（???）
A．与的夹角为 B．
C． D．在上的投影向量为
【答案】BD
【分析】由已知可得可判断B；利用向量的夹角公式求解可判断A；求得可判断C；利用投影向量的定义求解可判断D.
【详解】因为，所以，又，
所以，所以，故B正确；
所以，又，所以，故A错误；
，所以与不垂直，故C错误；
因为，
所以在上的投影向量为，故D正确.
故选：BD.
11．如图，直线，点A是，之间的一个定点，点A到，的距离分别为1和2．点B是直线上一个动点，过点A作，交直线于点C，点G满足，则（???）
A． B．面积的最小值是
C． D．存在最小值
【答案】ABC
【分析】根据直角坐标系，设出，，，根据及，即可找到三个点的坐标关系，分别写出，，即可判断A；取中点为，连接，根据，可得三点共线，且为靠近的三等分点，即可找到面积与面积之间比例关系，进而建立面积等式，根据基本不等式即可判断B；求出，再根据基本不等式可判断C；写出进行化简，根据的范围即可得
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