2026年高考数学一轮复习第五章平面向量与复数重难点培优（解析版+原卷版）.docxVIP

重难点培优01坐标法与极化恒等式、矩形恒等式在平面向量中的应用

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TOC\o1-2\h\u01知识重构?重难梳理固根基 1

02题型精研?技巧通法提能力 3

题型一坐标法（★★★★★） 3

题型二极化恒等式（★★★★） 12

题型三矩形恒等式（★★★） 16

03实战检测?分层突破验成效 18

检测Ⅰ组重难知识巩固 18

检测Ⅱ组创新能力提升 28

1、建系的常见技巧

（1）前言

坐标运算能将问题从复杂的化简中解放出来，快速简捷地达成解题的目标.对于条件中包含向量夹角与长度的问题，都可以考虑建立适当的坐标系，应用坐标法来统一表示向量，达到转化问题，简单求解的目的.

（2）技巧

①涉及到含有垂直的图形，如长方形、正方形、直角三角形、等边三角形、直角梯形、菱形的对角线等等；

②虽然没有垂直，但有特殊角，如30°、45°、60°、120°、135°等等.

2、极化恒等式

设a，b是平面内的两个向量，则有

证明：，①，②

将两式相减可得，这个等式在数学上我们称为极化恒等式．

①几何解释1（平行四边形模型）以，为一组邻边构造平行四边形，，则，由，得．

即“从平行四边形一个顶点出发的两个边向量的数量积是和对角线长与差对角线长平方差的”．

②几何解释2（三角形模型）在平行四边形模型结论的基础上，若设M为对角线的交点，则由变形为，得，

该等式即是极化恒等式在三角形中的体现，也是我们最常用的极化恒等式的几何模型．

注：具有三角几何背景的数学问题利用极化恒等式考虑尤为简单，让“秒杀”向量成为另一种可能；我们从极化恒等式看到向量的数量积可转化为中线长与半底边长的平方差，此恒等式的精妙之处在于建立向量与几何长度(数量)之间的桥梁，实现向量与几何、代数的巧妙结合．

3、矩形恒等式

如图，在矩形中，若对角线和交于点，为平面内任意一点，有以下两个重要的向量关系：①；②.

证明：①连接，根据，

可得；

②根据极化恒等式，可得.

题型一坐标法

1．如图，在直角梯形中，，，，为的中点，若，则的值（????）

A． B． C．2 D．

【答案】B

【分析】建立平面直角坐标系，由，利用向量相等求解.

【详解】解：建立如图所示平面直角坐标系：

则，

所以，

因为，

所以，

则，解得，

所以，

故选：B

2．古代中国的太极八卦图是以同圆内的圆心为界，画出相等的两个阴阳鱼，阳鱼的头部有阴眼，阴鱼的头部有阳眼，表示万物都在互相转化，互相渗透，阴中有阳，阳中有阴，阴阳相合，相生相克，蕴含着现代哲学中的矛盾对立统一规律．如图是由八卦模型图抽象出来的正八边形，其中心为O，若，则（????）

A． B． C．2 D．

【答案】A

【分析】构建合适的平面坐标系，标注相关点坐标，由向量线性关系的坐标表示列方程，即可得.

以，所在直线分别为，轴，建立如图②所示的平面直角坐标系，

设，则，

因为，所以，，

由，得，解得，故.

故选：A

3．（2025·江苏南京·二模）在四边形中，，，，E是线段中点，是线段上的动点，则的最小值为（???）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】建立坐标系，表示出的坐标，根据是线段上的动点用参数表示点的函数，从而题目可转换为关于的二次函数在闭区间上的最小值问题.

【详解】由题以点为坐标原点，为轴建立如图所示的平面直角坐标系，

因为，E是线段中点，

所以，

而是线段上的动点，

从而可设，

所以点的坐标是，

所以，

，

所以当时，的最小值是.

故选：C.

4．已知在矩形中，，，是边上的动点，记，当取最小值时，的值为（????）．

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】建立平面直角坐标系，设，，表示出个各点坐标，利用向量模的公式可得当最小时，代入，即可求解.

【详解】解法1：如图建立平面直角坐标系，不妨设，则，，，，

所以，，，

则

．

当时，，最小．

由得，则此时．

5．在△ABC中，BC＝2，，D为BC中点，在△ABC所在平面内有一动点P满足，则的最大值为（）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】根据化简整理得出，由此将化简，可得．根据且，得到点A在以BC为弦的优弧上运动（不含端点），以B为原点建立直角坐标系，求出所在圆的方程，设出点A的坐标，根据向量数量积的坐标运算法则与圆的性质求出的最大值，进而得到答案．

【详解】由，得，即，

所以．

因为，，所以点A在以BC为弦的优弧上运动（不含端点）．

设所在圆的圆心为M，连接MB、MC、MD，

则MD⊥BC，，可得，，．

以B为原点，BC所在直线为x轴，建立如图所示平面直角坐标系，

可得，圆M的方程为，

设，则，