（人教A版）必修第一册高一数学上册期末考点提升练习34 函数中重要思想方法的应用（解析版）.docxVIP

34函数中重要思想方法的应用

【题型归纳目录】

题型一：利用函数的定义和性质

题型二：换元、消元和主元思想

题型三：数形结合思想

题型四：分类讨论思想

【典型例题】

题型一：利用函数的定义和性质

例1．存在函数满足，对任意都有

A． B．

C． D．

【解析】解：对于，令得；令得，错误；

对于，令，则．

故．

所以符合题意，故正确；

对于，令，得（2）；令，得（2），错误；

对于，令，得；令，得，错误．

故选：．

例2．已知函数，不等式对任意的都成立，则实数的取值范围

A． B． C．， D．，

【解析】解：作出的图象如图

则函数为奇函数，且为减函数，

则不等式等价为，

即，

即恒成立，

若，则不等式等价为，不等式成立，

若，若恒成立，

则满足，

即，即，

综上，

故选：．

例3．存在函数满足：对任意的都有

A． B．

C． D．

【解析】解：对于选项：当或时，，而，不符合函数定义；

对于选项：当或时，，而或，不符合函数定义；

对于选项：当或时，，而或0，不符合函数定义；

对于选项：令，则，显然正确，

故选：．

变式1．设函数，则使得不等式成立的取值范围是

A． B．

C． D．

【解析】解：函数的定义域为，关于原点对称，

又，

所以函数为偶函数，

当时，，

则在，上恒成立，

所以函数在，上单调递增，

故不等式等价于，

所以，即，

化简可得，解得，

所以使得不等式成立的取值范围是．

故选：．

变式2．已知是定义在上的奇函数，且满足，当时，，则

A． B． C． D．3

【解析】解：由题意可知，

因为即，

故函数的周期，

又当时，，

则（2）．

故选：．

变式3．（多选题）已知函数，则下列的范围满足不等式的是

A． B． C． D．

【解析】解：因为函数，画出函数图象如图所示：

所以函数在上为增函数，

由，得，

即

解得，

故选：．

变式4．已知函数的最小正周期为2，当，时，．若，，则满足的所有取值的和为2019．

【解析】解：在函数的一个周期内，即，时，

，

又因为，

所以，且当且仅当时取得（1）．

在，内共有2019个周期，

且每个周期内的取奇数时的函数值为4，

故所有的值之和为：．

故答案为：2019．

变式5．已知正实数，满足，是自然对数的底数），则．

【解析】解：由题可知，，

又在单增，

则，则，

故．

故答案为：．

题型二：换元、消元和主元思想

例4．对任意，不等式恒成立，则实数的取值范围是

A． B． C． D．

【解析】解法（化为锅底函数）

设，则原不等式可化为．

令，则，

从而解不等式可得．

故选．

解法（特殊值法）

当时，因为，

当且仅当时，等号成立．

此时不恒成立，

所以不合题意，可以排除、．

当时，因为，

当且仅当时，等号成立．

此时恒成立，

所以符合题意，可以排除．

综上所述，正确．

故选：．

例5．设不等式对所有的，均成立，则实数的取值范围是

A．或 B．

C．或 D．或

【解析】解：当，不等式显然要成立，

即，解得或，

当，时，令，，

则，，，，

所以等价于，

①当时，即在，恒成立，

即，

即求的最大值，（4），所以；

②当时，在，恒成立，

即，

即求的最小值，（4）；

综上：或，

故选：．

例6．函数的值域为

A．， B．， C．， D．，

【解析】解：对于，有，则，

令，

则

，

．

函数的值域为，

故选：．

变式6．函数的值域为；函数的值域为．

【解析】解：①函数，

当时，，当时，．故函数的值域为．

②函数，整理得，转换为，整理得，

由于，故，整理得，解不等式组得：，

故函数的值域为．故答案为：①．②．

变式7．已知函数，，若的值域为，，则的取值范围是，．

【解析】解：设，则，则．

当时，则，得或；当时，则，得或；

又，若的值域为，，则的取值范围是，．故答案为：，．

变式8．对于满足的一切实数，不等式恒成立，试求的取值范围．

【解析】解：，即为，

可设，，

由题意可得，且（4），

即，且，

可得，

则的取值范围是，，．

故答案为：，，．

变式9．设不等式对所有，成立，求实数的取值范围．

【解析】解：设，

则，，

故对所有，成立，

，

，即，

对给定实数，设，

则是关于的一次函数或常值函数，，，

故等价于，解得，

故实数的取值范围为．

题型三：数形结合思想

例7．若不等式对，恒成立，则的值等于

A． B． C．1 D．2

【解析】解：当或时，，

当时，，

当或时，，当时，，

设，则在上单调递减，在上单调递增，

且的图象关于直线对称，，

，即，又，故．．故选：．

例8．已知实数，满足等式，下列五个关系式：①；②；③；④；⑤．其中不可能成立的关系式有

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

【解析】解：如图，画出函数与图象