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对一道极值点偏移试题的多解探究

摘要：极值点偏移问题一般是指关于原函数的零点与其极值点所形成的不等关系问题，在函数中有着举足轻重的地位，是各地模拟考和高考命题的一大热点，通常作为选择、填空以及解答题中的压轴题来考查学生的数学核心素养以及创新能力。

关键词：极值点偏移；核心素养；创新能力。

极值点偏移类的题型相比较而言问题还是非常抽象的，难度较大，具有很好的区分度，解题的方法也是灵活多变的，本文尝试利用几种常见的解法来研究极值点偏移问题，给出了解决极值点偏移问题的一般解法步骤，希望对读者理解相关问题有所帮助0。

例1问题的提出：已知函数f(x)

1+lnx

=

x 。

若f(x)ax+1恒成立，求实数a的取值范围；

x

若方程f(x)=m有两个不同实数根x1,x2，证明：x1+x22.

解析：（1）由f(x)ax+1（x0）,即得到lnxax，因为x0，所以alnx。

x x x2

令g（x）=lnx，则只需证明ag(x) ，因为g(x) 1-2lnx，当g(x)=0，可以

x2 max

= x2

e得到x=

e

，所以g(x)在（0，e）单调递增，在（

e，+∞）单调递减。

所以g(x)

max

=g(

e)=1

2e

，所以a的取值范围为（1，+∞）。

2e

（2）解法1（构造对称差函数）不妨设x1

x2

，f(x)=-lnx，所以当x?(0,1)

x2

时，f(x)0，f(x)单调递增，当x?(1,+∞)时，f(x)?0，f(x)单调递减。

由f(1)=1，f(1)=0，当x→+∞时，f(x)→0。所以0m1，1x1x。

e e 1 2

要证x1+x22，即证x22-x1，

由x21，2-x11，f(x)在(1,+∞)单调递减，只需证明f(x2)f(2-x1)，由f(x1)=f(x2)，只需证明f(x1)f(2-x1)，

构造g(x)=f(x)-f(2-x),x?(0,1)，只需证明g(x)0即可，易知g(1)=0，得

g(x)=f(x)-f(2-x)=-lnx+-ln(2-x)，

x2 (2-x)2

当x?(0,1)，得-lnx0，x2(2-x)2，从而g(x)-lnx-ln(2-x)=-lnx(2-x)0，

(2-x)2 (2-x)2

从而g(x)在(0,1)上单调递增，又g(1)=0，故当x?(0,1)时，g(x)0,证毕。

解法2：构造函数不等式法0

不妨设xx，构造函数G(x)= 1，

1 2

则G(x)=(1-

f(x)-f()

x

1)lnx，当x?(0,1)时，G(x)0，G(x)单调递增，

x2

所以G(x)G(1)=0，即f(x) 1。因为1x1,故f(x)=f(x) 1，

f()

x e 1

2 1 f( )

x1

又因为x

1,11，x∈(1,+∞)时，f(x)单调递减，所以x1，即xx

1,所以

2xx2

2

x

x

x1x2x1+x

x1x2

12

1 1

2,得证。

解法3：（构造比值函数法1）不妨设x1

x2

，f(x)=-lnx，所以当x?(0,1)时，

x2

f(x)0，f(x)单调递增，当x?(1,+∞)时，f(x)0，f(x)单调递减。由f(1)=1，f(1)=0，当x→+∞时，f(x)→0，所以0m1，

e

由f(x2)=f(x1)=m，即1+lnx1=mx1，1+lnx2=mx2两式作差得

lnx

lnx

=m(x

x)，即m=lnx1-lnx2，所以x+x

m(x+x)=x1+x2lnx1，

1 2 1 2

x1-x2

1 2 1 2

x1-x2 x2

令t=x1∈(0,1)，即x+xt+1lnt，要证x+x

2，只需证t+1lnt2，即只

x21 2 t-1 1 2

x

2

t-1

需证lnt（2

t-1）

在t∈(0,1)上恒成立即可，

t+1