第10章 第3讲 二重积分在极坐标系下的计算.pptxVIP

第3讲二重积分在极坐标系下的计算第10章重积分及其应用主讲教师|高等数学（下册）（慕课版）

本讲内容二重积分在极坐标系下的表示极坐标系下二重积分的计算02二重积分的换元法0301

301二重积分在极坐标系下的表示圆的方程为：(?????)2+??2=??2,??是中心在(??,0)，半径为??的圆域.计算??1.偏导数的概念

4????01二重积分在极坐标系下的表示

5面积元素d??=??d??d??OrD?riri?σi?θi????01二重积分在极坐标系下的表示

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702极坐标系下二重积分的计算(1)?极点??不在积分区域内r=φ1（θ）Dr=φ2（θ）βαOr?区域

8r=φ1（θ）Dr=φ2（θ）βαOr???02极坐标系下二重积分的计算

9(2)?极点??包含在积分区域的内部区域?Dr=φ（θ）Or???02极坐标系下二重积分的计算

10(3)?极点??位于积分区域的边界上?区域βDr=φ（θ）Or???02极坐标系下二重积分的计算

11解??例1求?其中?积分区域D如图10.23所示.图10.23yxOx2+y2=1D02极坐标系下二重积分的计算

12区域D在极坐标系下可表示为：??则另外,本题也可以用直角坐标计算：???????02极坐标系下二重积分的计算

13??0??两种方法比较之下,显然极坐标系的计算简单的多.02极坐标系下二重积分的计算

其中区域??为??2+??2=4,??2+??2=1和直线??=??,??=0所围成的第一象限的区域.计算?14解??例2例10.12????02极坐标系下二重积分的计算

15??例3设区域?如图10.25所示,函数f(x,y)在D上连续,将二重积分?化为极坐标系下的二次积分.图10.2502极坐标系下二重积分的计算

16解在极坐标系下,由??则区域D的边界曲线分别为：圆r=1、直线?则区域D的不等式表示为?因此??02极坐标系下二重积分的计算

?17解??例4例10.16?设区域计算二重积分???OyxD102极坐标系下二重积分的计算

18???02极坐标系下二重积分的计算

19第10章总复习题(3)??例5??设??是第一象限中由曲线2xy=1,4xy=1?与直线??=???围成的平面区域,函数??(x,y)在??上连续,则??02极坐标系下二重积分的计算

20B解?????02极坐标系下二重积分的计算

?其中??是由中心在原点,半径为??的圆周所围成的闭区域.计算下列积分?21解??例6例10.14??????02极坐标系下二重积分的计算

22广义概率积分?当??≥0,??≥0时,显然有?因?根据二重积分的性质有设???02极坐标系下二重积分的计算

23??02极坐标系下二重积分的计算?????

24?同理?02极坐标系下二重积分的计算???

25由?得?当??→+∞时,?根据夹逼准则,当??→+∞时,?即?故?02极坐标系下二重积分的计算

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2703二重积分的换元法解??例7计算?其中D由x轴、y轴和直线x+y=2所围成的闭区域.令u=y-x,v=y+x,则对于区域D的边界曲线,?

28图10.29当x=0时,u=v.当y=0时,u=-v.当x+y=2时,v=2,由此得D,,如图10.29所示.03二重积分的换元法(a)(b)

29????=???故?????03二重积分的换元法?

30解作广义极坐标代换???化为?d??=??????d??d??例10.18计算其中??为椭圆?所围成的闭合区域?03二重积分的换元法??例8

31??????03二重积分的换元法

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