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第7讲高斯公式、通量和散度第11章曲线积分与曲面积分主讲教师|高等数学（下册）（慕课版）
本讲内容01高斯公式02沿任意闭曲面的曲面积分为零的条件03通量和散度
01高斯公式3??定理11.1????
4注意:格林公式取边界曲线的正向,高斯公式取边界曲面的外侧或???01高斯公式
5证????????01高斯公式
6????01高斯公式
7若Ω不是XY型区域,则可引进辅助面将其分割成若干个XY型区域,在辅助面正反两侧面积分正负抵消,故上式仍成立.同理可证????01高斯公式
8??例1解计算曲面积分?例11.26由高斯公式得?????xyzO?01高斯公式
9??例2解计算?例11.26拓展可以使用高斯公式不能使用高斯公式????01高斯公式??
10??例3解利用高斯公式计算曲面积分例11.27??????01高斯公式?
11??????01高斯公式
12?????ΣxOhzy???01高斯公式
13??例4解计算曲面积分???第11章总复习题(15)????01高斯公式
14根据高斯公式有?????01高斯公式
15???????01高斯公式
本讲内容01高斯公式02沿任意闭曲面的曲面积分为零的条件03通量和散度
G3G1G202沿任意闭曲面的曲面积分为零的条件17空间二维单连通区域?空间一维单连通区域?空间二维单连通区域空间一维单连通区域非空间二维单连通区域空间一维单连通区域空间二维单连通区域非空间一维单连通区域对于空间区域G,如果G内任一闭曲面所围成的区域全属于G.?（a）（b）（c）
18??定理11.1一阶连续偏导数,则???只取决于Σ的边界曲线（或沿G内任一闭曲面的曲面积分为零）的充分必要条件是?02沿任意闭曲面的曲面积分为零的条件
19??例5解计算例11.28???????Σ0ΣxOzy02沿任意闭曲面的曲面积分为零的条件
20所以??02沿任意闭曲面的曲面积分为零的条件
21????02沿任意闭曲面的曲面积分为零的条件
本讲内容01高斯公式02沿任意闭曲面的曲面积分为零的条件03通量和散度
03通量和散度23通量(流量)设某向量场散度设某向量场????
24指定测的通量(流量).????03通量和散度
25??例6解的边界曲面流向外侧的通量.例11.29???????03通量和散度
26??例7解例11.30?????03通量和散度
学海无涯，祝你成功！主讲教师|高等数学（下册）（慕课版）
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