2025年初高衔接数学第30讲-三角函数的应用（学生版）（人教版）.docxVIP

第30讲三角函数的应用

1．会用三角函数解决一些简单的实际问题；

2．体会三角函数是周期变化现象的重要函数模型

一、函数y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)中，A，ω，φ的物理意义

1、简谐运动的振幅就是A.

2、简谐运动的周期T＝eq\f(2π,ω).

3、简谐运动的频率f＝eq\f(1,T)＝eq\f(ω,2π).

4、ωx＋φ称为相位．

5、x＝0时的相位φ称为初相．

二、三角函数模型的应用

三角函数作为描述现实世界中周期现象的一种数学模型，可以用来研究很多问题，在刻画周期变化规律、预测其未来等方面都发挥着十分重要的作用．

实际问题通常涉及复杂的数据，因此往往需要使用信息技术．

三、建立函数模型的一般步骤

四、运用三角函数模型解决问题的几种类型

1、由图象求解析式：首先由图象确定解析式的基本形式，例如：y＝Asin(ωx＋φ)，然后根据图象特征确定解析式中的字母参数，在求解过程中还要结合函数性质．

2、由图象研究函数的性质：通过观察分析函数图象，能得出函数的单调性、奇偶性、对称性、周期性．

3、利用三角函数研究实际问题：首先分析、归纳实际问题，抽象概括出数学模型，再利用图象及性质解答数学问题，最后解决实际问题．

五、解三角函数应用问题的基本步骤

六、建立三角函数拟合模型的注意事项

1、在由图象确定函数的解析式时，注意运用方程思想和待定系数法来确定参数．

2、在已知解析式作图时要用类比的方法将陌生的问题转化成熟悉的问题．

3、在应用三角函数模型解答应用题时，要善于将符号、图形、文字等各种语言巧妙转化，并充分利用数形结合思想直观地理解问题．

考点一：三角函数在物理上的应用

例1．如图所示，单摆从某点开始来回摆动，离开平衡位置的弧长与时间的函数关系式为，那么单摆来回摆动一次所需的时间为

A．B．C．D．

【变式训练】如图所示的是一质点做简谐运动的图象，则下列结论正确的是（）

A．该质点的运动周期为0.7sB．该质点的振幅为5cm

C．该质点在0.1s和0.5s时运动速度为零D．该质点在0.3s和0.7s时运动速度为零

考点二：三角函数在生活上的应用

例2．在西双版纳热带植物园中有一种原产于南美热带雨林的时钟花，其花开花谢非常有规律.有研究表明，时钟花开花规律与温度密切相关，时钟花开花所需要的温度约为，但当气温上升到时，时钟花基本都会凋谢.在花期内，时钟花每天开闭一次.已知某景区有时钟花观花区，且该景区6时时的气温（单位：）与时间（单位：小时）近似满足函数关系式，则在6时时中，观花的最佳时段约为（）（参考数据：）

A．时时B．时时C．时时D．时时

【变式训练】心脏跳动时，血压在增加或减少，血压的最大值、最小值分别称为收缩压、舒张压，血压计上的读数就是收缩压、舒张压，读数120/80mmHg为标准值.设某人的血压满足（），其中为血压（mmHg），为时间（min）.

（1）求此人每分钟心跳的次数；

（2）求出此人的血压在血压计上的读数，并与标准值进行比较.

考点三：三角函数在圆周中的应用

例3．摩天轮是一种大型转轮状的机械建筑设施，游客坐在摩天轮的座舱里慢慢地往上转，可以从高处俯四周景色如图，某摩天轮最高点距离地面高度为，转盘直径为，均匀设置了依次标号为号的个座舱.开启后摩天轮按照逆时针方向匀速旋转，游客在座舱转到距离地面最近的位置进舱，开始转动后距离地面的高度为，转一周需要.若甲、乙两人分别坐在号和号座舱里，当时，两人距离地面的高度差（单位：）取最大值时，时间的值是.

??

【变式训练】一个半径为2米的水轮如图所示，水轮圆心O距离水面1米．已知水轮按逆时针作匀速转动，每6秒转一圈，如果当水轮上点P从水中浮现时（图中点）开始计算时间．

（1）以过点O且平行于水轮所在平面与水面的交线L的直线为x轴，以过点O且与水面垂直的直线为y轴，建立如图所示的直角坐标系，试将点P距离水面的高度h（单位：米）表示为时间t（单位：秒）的函数；

（2）在水轮转动的任意一圈内，有多长时间点P距离水面的高度不低于2米？

考点四：拟合法建立三角函数模型

例4．海水受日月的引力，在一定的时候发生潮涨潮落，船只一般涨潮时进港卸货，落潮时出港航行，某船吃水深度（船底与水面距离）为米，安全间隙（船底与海底距离）为米，该船在开始卸货，吃水深度以米/小时的速度减少，该港口某季节每天几个时刻的水深如下表所示，若选择（）拟合该港口水深与时间的函数关系，则该船必须停止卸货驶离港口的时间大概控制在（）（要考虑船只驶出港口需要一定时间）

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