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第三章圆锥曲线的方程学案知识清单+例题精析

3.1椭圆

3.1.1椭圆及其标准方程

1.圆锥曲线的定义：用一个不垂直于圆锥的轴的平面截圆锥，当圆锥的轴与截面所成的角不同时，可以得到不同的截口曲线，它们分别是椭圆、抛物线和双曲线.我们通常把椭圆、抛物线、双曲线统称为圆锥曲线.

2.椭圆的定义：平面内到两个定点F1，F2的距离的和等于常数（大于|F1F2|）的点的轨迹叫做椭圆，两个定点F1，F2叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距．

注意点：（1）椭圆上的点到两焦点距离之和为定值；

（2）定值必须大于两定点的距离；

（3）当距离的和等于F1F2时，点的轨迹是线段；

（4）当距离的和小于F1F2时，点的轨迹不存在．

3.椭圆的标准方程

焦点位置

在x轴上

在y轴上

标准方程

x

y

图象

焦点坐标

F1(?

F1(0,?

a，b，c的关系

a2＝b2＋c2

注意点：（1）焦点位置由a2，b2的大小确定，焦点在大的参数对应的坐标轴上；

4.椭圆方程的设法

求椭圆方程时，如果明确椭圆的焦点在x轴上，那么设所求的椭圆方程为：x2

如果明确椭圆的焦点在y轴上，那么设所求的椭圆方程为：y2

如果中心在原点，但焦点的位置不能明确是在x轴上，还是在y轴上，那么方程可以设为：mx2＋ny2＝1（m0，n0，m≠n）．

3.1.2椭圆的简单几何性质

椭圆的简单几何性质

焦点的位置

焦点在x轴上

焦点在y轴上

图象

标准方程

x

y

范围

－a≤x≤a且－b≤y≤b

－b≤x≤b且－a≤y≤a

对称性

对称轴为坐标轴，对称中心（也叫椭圆的中心）为原点

顶点

A1(?a

B1(0,?

A1(0,?a

B1(?

离心率

e

轴长

长轴|A1

焦点

F1(?

F1(0,?

焦距

|

2.离心率

（1）定义：椭圆的焦距与长轴长的比称为椭圆的离心率．

（2）性质：离心率e的范围是（0，1）．当e越接近于1时，椭圆越扁；当e越接近于0时，椭圆就越接近于圆．

注意点：（1）椭圆的焦点一定在它的长轴上．

（2）椭圆上到中心的距离最小的点是短轴的两个端点，到中心的距离最大的点是长轴的两个端点．

（3）椭圆上到焦点的距离最大和最小的点分别是长轴的两个端点，最大值为a＋c，最小值为a－c．

3.直线与椭圆的位置关系

直线与椭圆的位置关系

相交

相切

相离

直线与椭圆公共点个数

两个

一个

无

方程解的个数

两解

一解

无解

的取值

0

=0

0

注意点：设直线方程时，容易忽略斜率不存在的情况．

（2）解决直线与圆锥曲线相交问题的常用步骤：

②联立直线与曲线方程，得到关于x（或y）的一元二次方程；

③写出根与系数的关系；

⑤代入求解．

备选例题A组基础巩固

【例题1】设F1,F2分别为椭圆C:x24+y23=1的两个焦点，过F1且不与坐标轴重合的直线

A.4B.8C.12D.16

【答案】A

【解析】如图，不妨设F为左焦点，F1为右焦点，连接PF1.∵N为PF的中点，且|ON|=2，

∴|PF1|=4.由椭圆方程可知，2a=6，根据椭圆定义有|PF|+|PF1|=2a=6，∴|PF|=2.故选A.

A．长轴长为2 B．短轴长为 C．焦距为1 D．离心率为

故选：D

故选：C

A．顶点坐标 B．离心率 C．焦距 D．长轴长

故选：C

A． B． C．2 D．4

故选：A．

【例题7】虢仲盨，青铜器，西周文物.该文物的腹部横截面的形状是一个长轴长为厘米，短轴长为厘米的椭圆，则该椭圆的离心率为（????）

A． B． C． D．

故选：C

故选：D．

备选例题B组能力提升

A． B． C． D．

【答案】B

A． B． C． D．

【答案】C

故选：．

【例题3】中心为原点，一个焦点为F（0,5）的椭圆，截直线y＝3x－2所得弦中点的横坐标为，则该椭圆方程为（）

【答案】C

消去y得（10a2－450）x2－12（a2－50）x＋4（a2－50）－a2（a2－50）＝0，

设直线y＝3x－2与椭圆的交点坐标分别为（x1，y1），（x2，y2），

故选：C

【例题4】椭圆mx2＋ny2＝1与直线y＝1－x交于M，N两点，连接原点与线段MN中点所得直线的斜率为，则的值是（）

【答案】A

故选：A.