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離散隨機信號DiscreteRandomSignals

引言信號有確定性信號和隨機信號之分：確定性信號，就是信號隨時間的變化有一定的規律性，可以用一個明確的數學關係（或圖、表）進行描述，是可以再現的。隨機信號，就是信號隨時間的變化沒有明確的變化規律，在任何時間的信號大小不能預測，因此不可能用一明確的數學關係（或圖、表）進行描述，不可以再現。但是這類信號存在著一定的統計分佈規律，它可以用概率密度函數、概率分佈函數、統計特徵等進行描述。

隨機變數的概率分佈隨機變數的概念：若某種試驗A的隨機結果用X表示，則稱此X為一個隨機變數，並設它的取值為x。例如，在一定時間內電話交換臺收到的呼叫次數是一個隨機變數。隨機變數的分佈函數：定義：FX(x)=P(X?x)性質：∵P(aX?b)+P(X?a)=P(X?b), P(aX?b)=P(X?b)–P(X?a)， ∴P(aX?b)=FX(b)–FX(a)

離散隨機變數的分佈函數設X的取值為：x1，x2，...，xi，...，xn，其取值的概率分別為p1，p2，…，pi，…，pn，則有 P(Xx1)=0,P(X≤xn)=1∵P(X≤xi)=P(X=x1)+P(X=x2)+…+P(X=xi), ∴

離散隨機變數的分佈函數(續)性質：FX(-∞)=0FX(+∞)=1若x1x2，則有:FX(x1)≤FX(x2)，為單調增函數。圖1.1離散隨機變數的分佈函數

連續隨機變數的分佈函數當x連續時，由分佈函數定義，有 FX(x)=P(X≤x) 可知，FX(x)為一連續單調遞增函數，表明X的取值概率沿x軸的累積分佈情況。圖1.2連續隨機變數的分佈函數

隨機變數的概率密度連續隨機變數的概率密度pX(x)1.pX(x)的定義：2.pX(x)的意義：①pX(x)是FX(x)的導數，是FX(x)曲線的斜率②能夠從pX(x)求出P(aX≤b)：3.pX(x)的性質：①②pX(x)?0③

隨機變數的概率密度(續)離散隨機變數的概率密度離散隨機變數的分佈函數可以寫為：式中，pi為x=xi的概率；u(x)為單位階躍函數。 將上式兩端求導，得到其概率密度：性質： ①當x≠xi時，pX(x)=0， ②當x=xi時，pX(x)=1

常見隨機變數舉例正態分佈隨機變數定義：概率密度為式中，σ0,a=常數。圖1.3正態分佈概率密度曲線

常見隨機變數舉例(續1)均勻分佈隨機變數定義：概率密度式中，a，b為常數。bax0pX(x)圖1.4均勻分佈概率密度曲線

常見隨機變數舉例(續2)瑞利(Rayleigh)分佈隨機變數定義：概率密度為式中，a0，為常數。圖1.5瑞利分佈的概率密度曲線

隨機變數的數字特徵數學期望定義：對於連續隨機變數性質：若X和Y互相獨立，且E(X)和E(Y)存在，則

隨機變數的數字特徵(續1)方差定義： 式中，對於離散隨機變數，對於連續隨機變數，性質：D(C)=0D(X+C)=D(X)，D(CX)=C2D(X)D(X+Y)=D(X)+D(Y)D(X1+X2+…+Xn)=D(X1)+D(X2)+…+D(Xn)

隨機變數的數字特徵(續2)矩定義：隨機變數X的k階矩為k階原點矩：a=0時的矩：k階中心矩：時的矩：性質：一階原點矩為數學期望：二階中心矩為方差：

斜度4.3階原點矩又稱為斜度（Skewness)。它描述隨機變數X分佈的非對稱特性。若隨機信號具有對稱概率密度函數，則其斜度為零，如：均勻分佈正態分佈三角分佈

斜度示範三種分佈的斜度ModeMedianMeanMeanMedianModeModeMedianMean

峰度5.4階原點矩LeptokurticMesokurticPlatykurtic或稱為峰度(Kurtosis)，它描述隨機變數X分佈的尖瑞程度。

歸零化峰度歸零化峰度定義為:曲線B峰度＞0Leptokurtic(HighPeaked)曲線A峰度=0Me