离散信号与系统的频域分析课件.pptVIP

週期序列fp(k)的離散時間傅裏葉級數表示式為如果將NFn表示成Fp(n),並令，則上兩式可改寫為式中，常數係數1/N置於DFS的正變換或反變換式中，對DFS變換無任何實質影響。如果將週期序列Fp(n)在主值區間表示為F(n),0≤n≤N-1，由於以上兩式的求和範圍均為0~N-1，在此區間內fp(k)=f(k)，因此，“借用”離散傅裏葉級數的形式可以得到0≤n≤N-10≤k≤N-1式中:(6.5-9)(6.5-10)式(6.5-9)和式(6.5-10)所定義的變換關係就稱為離散傅裏葉變換。它表明，時域的N點有限長序列f(k)可以變換為頻域的N點有限長序列F(n)。很顯然，DFT與DFS之間存在以下關係：與連續時間傅裏葉變換的情況類似，DFT的正、反變換之間存在一一對應的關係。或者說，IDFT［F(n)］是惟一的。對此可作如下證明。由於m=k+MNm≠k+MN(M為整數)所以，在區間0~N-1有0≤k≤N-1由此可見式(6.5-10)定義的離散傅裏葉反變換是惟一的。可記為例6.5-1有限長序列f(k)=G4(k)，設變換區間N=4、8、16時，試分別求其DFT。解設N=4,則據式(6.5-9)有同樣,當N=8時n=0,1,…,7當N=16時n=0,1,…,15由此可見f(k)的離散傅裏葉變換結果與變換區間長度N的取值有關。設序列f(k)的長度為N，據式(6.2-11)可求得f(k)的離散時間傅裏葉變換而f(k)的離散傅裏葉變換為0≤n≤N-1圖6.5-2F(n)與F(ejω)的關係6.5.2DFT的計算其計算過程可寫成矩陣形式，即設l均為整數式中，r是kn被N除得的商數，l是餘數。所以有由於所以有表6.1按模8計算的kn值6.6DFT的性質1.線性若f1(k)←→F1(n),f2(k)←→F2(n)，則式中，a,b為任意常數。2.對稱性若f(k)←→F(n),則此性質可以由ＩＤＦＴ式(6.5-10)互換變數k和n而證得。3.時移特性有限長序列f(k)的時移序列f(k-m)，從一般意義上講，是將序列f(k)向右移動m位。即將區間0~N-1的序列f(k)移到區間m~N+m-1。由於DFT的求和區間是0到N-1，這就給位移序列的DFT分析帶來困難。我們這裏所討論的時間位移並不是指上述一般意義上的位移，而是指迴圈位移(亦稱圓周位移)。所謂迴圈位移，實質上是先將有限長序列f(k)週期延拓構成週期序列fp(k)，然後向右移動m位得到fp(k-m)，最後取fp(k-m)之主值。這樣就得到所謂的迴圈位移序列fp(k-m)GN(k)。一般可記為圖6.6-1有限長序列的迴圈位移DFT分析中的時間迴圈位移特性告訴我們：若f(k)←→F(n)，則上述結論可直接對位移序列f((k-m))NGN(k)求DFT得到。4.頻移特性頻移特性表明，若時間序列乘以指數項 ,則其離散傅裏葉變換就向右循環位移l單位。這可看作調製信號的頻譜搬移，因而也稱為調製定理。若f(k)←→F(n)，則有5.採用ＤＦＴ的IDFT這個性質的意義在於，利用DFT正變換的演算法既可計算其正變換，又可計算其反變換，這就為DFT的計算帶來了程式通用化的方便。若f(k)←→F(n)，則有6.時域迴圈卷積(圓卷積)我們知道，卷積在系統分析中起著非常重要的作用。兩序列f1(k)和f2(k)(長度分別為L和M)的卷積得到長度為L+M-1的另一個序列，即k=0，1,2，…,L+M-2這就是所謂的線卷積。而這裏所討論的是迴圈卷積，也稱圓卷積。迴圈卷積的含義為：兩長度均為N的有限長序列f1(k)和f2(k)，其迴圈卷積結果仍為一長度為N的序列f(k)。迴圈卷積的計算過程與線卷積相似，只不過求和式中的位移項f(k-m)應按迴圈位移處理。因而，有限長序列f1(k)與f2(k)的迴圈卷積可記為圖6.6-2線卷積與圓卷積比較在DFT中，迴圈卷積(圓卷積)具有如下的性質：若f1(k)←→F1(n)，f2(k)←→F2(n)，則有對原序列應作如下處理：對長度分別為L和M的有限長序列f1(k)和f2(k)用補零的方法將其開拓成長度為N≥L+M-1