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高等代数大一真题及答案

一、单项选择题

1.设\(A\)，\(B\)为\(n\)阶方阵，且\(AB=0\)，则下列一定成立的是（）

A.\(A=0\)或\(B=0\)

B.\(A+B=0\)

C.\(|A|=0\)或\(|B|=0\)

D.\(|A|+|B|=0\)

答案：C

2.设向量组\(\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3\)线性无关，则下列向量组线性相关的是（）

A.\(\alpha_1+\alpha_2,\alpha_2+\alpha_3,\alpha_3+\alpha_1\)

B.\(\alpha_1,\alpha_1+\alpha_2,\alpha_1+\alpha_2+\alpha_3\)

C.\(\alpha_1-\alpha_2,\alpha_2-\alpha_3,\alpha_3-\alpha_1\)

D.\(\alpha_1+\alpha_2,2\alpha_2+\alpha_3,3\alpha_3+\alpha_1\)

答案：C

3.设\(A\)是\(n\)阶可逆矩阵，\(\lambda\)是\(A\)的一个特征值，则\(A^{-1}\)的一个特征值是（）

A.\(\lambda\)

B.\(\frac{1}{\lambda}\)

C.\(\lambda^2\)

D.\(\lambda^{-2}\)

答案：B

4.设\(A\)为\(m\timesn\)矩阵，齐次线性方程组\(Ax=0\)仅有零解的充分必要条件是（）

A.\(A\)的行向量组线性无关

B.\(A\)的行向量组线性相关

C.\(A\)的列向量组线性无关

D.\(A\)的列向量组线性相关

答案：C

5.设\(A\)，\(B\)为\(n\)阶方阵，且\(A\)与\(B\)相似，则下列结论错误的是（）

A.\(A\)与\(B\)有相同的特征值

B.\(A\)与\(B\)有相同的特征多项式

C.\(A\)与\(B\)有相同的秩

D.\(A\)与\(B\)相等

答案：D

6.若矩阵\(A\)的秩为\(r\)，则下列说法正确的是（）

A.\(A\)中所有\(r+1\)阶子式全为零

B.\(A\)中至少有一个\(r+1\)阶子式不为零

C.\(A\)中所有\(r\)阶子式全不为零

D.\(A\)中至少有一个\(r-1\)阶子式不为零

答案：A

7.设\(A\)是\(n\)阶实对称矩阵，\(P\)是\(n\)阶可逆矩阵，\(B=P^TAP\)，则（）

A.\(A\)与\(B\)合同但不相似

B.\(A\)与\(B\)相似但不合同

C.\(A\)与\(B\)既合同又相似

D.\(A\)与\(B\)既不合同也不相似

答案：A

8.设\(A\)为\(n\)阶方阵，\(E\)为\(n\)阶单位矩阵，若\(A^2-A-2E=0\)，则\(A^{-1}\)等于（）

A.\(\frac{1}{2}(A-E)\)

B.\(\frac{1}{2}(A+E)\)

C.\(A-E\)

D.\(A+E\)

答案：B

9.已知向量组\(\alpha_1=(1,2,3)^T\)，\(\alpha_2=(2,3,4)^T\)，\(\alpha_3=(3,4,5)^T\)，则该向量组的秩为（）

A.1

B.2

C.3

D.0

答案：B

10.设\(A\)是\(n\)阶方阵，且\(|A|=0\)，则（）

A.\(A\)中必有两行（列）元素对应成比例

B.\(A\)中至少有一行（列）向量是其余行（列）向量的线性组合

C.\(A\)中必有一行（列）元素全为零

D.\(A\)的行（列）向量组线性无关

答案：B

二、多项选择题

1.设\(A\)，\(B\)为\(n\)阶方阵，下列命题正确的是（）

A.\((AB)^T=B^TA^T\)

B.\(|AB|=|A||B|\)

C.\((A+B)^2=A^2+2AB+B^2\)

D.若\(AB=0\)，则\(A=0\)或\(B=0\)

答案：AB

2.设向量组\(\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_s\)线性相关，则（）

A.该向量组中至少有一个向