【导学案】5.5 三元一次方程组 2025-2026学年北师大版数学八年级上册.docxVIP

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第5章二元一次方程

*5.5三元一次方程组

【素养目标】

1.掌握三元一次方程组的概念和三元一次方程组的解法.(重点)

2.在学习三元一次方程组的过程中,感受消元转化的思想.(难点)

【情境导入】

1.解二元一次方程组有哪几种方法?

2.解二元一次方程组的基本思路是什么?

思考:若含有3个未知数的方程组如何求解?

【合作探究】

探究点一:三元一次方程(组)的概念

今有上禾三秉,中禾二秉,下禾一秉,实三十九斗；上禾二秉,中禾三秉,下禾一秉,实三十四斗；上禾一秉,中禾二秉,下禾三秉,实二十六斗。问上中下禾实一秉各几何？(选自《九章算术》)

题目大意:有上禾3束,中禾2束,下禾1束,可得米39斗;上禾2束,中禾3束,下禾1束,可得米34斗;上禾1束,中禾2束,下禾3束,可得米26斗。上、中、下禾每束各可得米多少斗?

问题1:题中有未知量?你能找出哪些等量关系？将每一个未知量都用一个字母表示出来.

未知量：上禾产量，中禾产量，下禾产量

等量关系：三种情况下得到大米的量.

设上禾产量为x斗，中禾产量y斗，下禾产量z斗.

等量关系:用方程表示等量关系.

(1)3上禾+2中禾+1下禾=393x+2y+z=39①

(2)2上禾+3中禾+1下禾=342x+3y+z=34②

(3)1上禾+2中禾+3下禾=26x+2y+3z=26③

问题2:观察列出的三个方程,对比原来学过的二元一次方程你有什么发现?

3x+2y+z=39①

2x+3y+z=34②

x+2y+3z=26③

因这三个数必须同时满足上述三个方程,故将三个方程联立在一起.

3x+2y+z=39

总结:像这样,共含有三个未知数的三个一次方程所组成的一组方程,叫作三元一次方程组.

练习1:下列方程组不是三元一次方程组的是()

A

三元一次方程组中各个方程的公共解,叫作这个三元一次方程组的解.

问题3:如何解这个方程组呢?

3x+2y+z=39

思考:如何在三元一次方程组中进行消元?

1.代入消元法3x+2y+z=39

【思考与提升】

(1)解上面的方程组时,你能用代入消元法先消去未知数y(或z),从而得到方程组的解吗?

(2)你还有其他方法吗?与同伴进行交流.

2.加减消元法3x+2y+z=39

【反思与提升】回顾二元一次方程组和三元一次方程组的求解过程,说说求解三元一次方程组的基本思路。

例1在等式y=ax2+bx+c中,当x=?1时,y=0;当x=2时,y=3;当x=5时;y=60

练习2:今年小新一家三口的岁数总和是80岁,爸爸比妈妈大3岁,妈妈的岁数恰好是小新岁数的5倍.问:今年爸爸、妈妈和小新分别几岁?

当堂反馈

1.下列方程组中是三元一次方程组的是()

A.xy=1,yz=1,xz=1B.x+y=2,y+z

2.解方程组3x?y+2z=3,2x+y?4z=11,7x+y?5z=1,若要使运算简便,消元的方法应选取(

A.先消去xB.先消去y

C.先消去zD.以上说法都不对

3.三元一次方程组x+y=2,x?z

4．有甲、乙、丙三种商品,如果购甲3件,乙2件,丙1件共需420元钱；购甲1件,乙2件,丙3件共需380元钱,那么购甲、乙、丙三种商品各一件共需___________元.

参考答案

1.代入消元法和加减消元法

2.将二元一次方程组消元成一元一次方程

思考:可以通过消元法来求解.

探究点一:三元一次方程(组)的概念

练习1:C

探究点二:三元一次方程组的解法

问题3:

1.代入消元法

解:由①,得z=39?3x?2y④

把④分别代入②③并化简,得x?y=5⑤

解由⑤⑥组成的二元一次方程组,得x=37

将x=374,y=

所以原方程组的解是x=

【思考与提升】

(1)可以用代入消元法先消去未知数y(或z),从而得到方程组的解。

(2)可以用加减消元法先消去未知数x,得到关于y,z的二元一次方程组,再进行求解。

2.加减消元法

解得将x,y的值代入①中得解:由①-②得x?y=5④

由3×②-③得5x+7y=76⑤

联立得x?y=5,④5x+7y=76.⑤联立得⑤-④×5

解得x=374,y