双学位多项式.pptVIP

厦门大学数学科学学院gdjpkc.xmu.edu.cn多项式函数_2定理设f(x)∈K[x],且degf(x)=n,则f(x)在K内至多有n个不同的根.推论设f(x),g(x)∈K[x],且degf(x),degg(x)≤n,且存在n+1个不同的数b1,b2,…,bn+1∈K,使得f(bi)=g(bi),1≤i≤n+1,则f(x)=g(x).定理设f(x),g(x)∈K[x],则f(x),g(x)作为多项式相等(即次数和各次项系数相等)当且仅当f(x),g(x)作为多项式函数相等:即对任意b∈K,有f(b)=g(b).第59页，共88页，星期日，2025年，2月5日厦门大学数学科学学院gdjpkc.xmu.edu.cn例例1sinx不是R上多项式.例2设degf(x)0,n是正整数.又若f(x)|f(xn),则f(x)的根或为0或为单位根.(复习题6)第60页，共88页，星期日，2025年，2月5日厦门大学数学科学学院gdjpkc.xmu.edu.cn多项式函数_3定义b∈K,若(x–b)k|f(x),但 则称b为f(x)的一个k重根.若k=1,则称b为单根.注1f(x)在K上有重根,则在K上必有重因式;反之未必.命题设f(x)∈K[x],且degf(x)=n,则f(x)在K上至多有n个根.第61页，共88页，星期日，2025年，2月5日厦门大学数学科学学院gdjpkc.xmu.edu.cn例子例3设b是f(x)的k重根,则b是f’(x)的k–1重根.反之未必.例4设b是(f(x),f’(x))的k–1重根,则b必是f(x)的k重根.第62页，共88页，星期日，2025年，2月5日厦门大学数学科学学院gdjpkc.xmu.edu.cn最大公因式_定义定义: 设f(x),g(x)∈K[x],若d(x)∈K[x]使得 1)d(x)|f(x)且d(x)|g(x); 2)若h(x)|f(x)且h(x)|g(x),则h(x)|d(x).称d(x)是f(x)与g(x)的最大公因式.例1f(x)=(x–1)3(x+2)x,g(x)=(x–1)2(x+2)5(x+3).求f(x),g(x)的最大公因式.注1d(x)是f(x),g(x)的公因式,且次数最高.第27页，共88页，星期日，2025年，2月5日厦门大学数学科学学院gdjpkc.xmu.edu.cn最大公因式_唯一性注2设d(x),d1(x)是f(x)和g(x)的最大公因式,据定义有d(x)|d1(x)且d1(x)|d(x),故存在c∈K,使得d(x)=cd1(x).即f(x),g(x)的最大公因式最多差一个非零常数。f(x),g(x)首项系数为1(简称首一)的最大公因式是唯一确定的,记为d(x)=(f(x),g(x)).注(f(x),g(x))=(g(x),f(x))第28页，共88页，星期日，2025年，2月5日厦门大学数学科学学院gdjpkc.xmu.edu.cn例子例2 1)(f(x),2); 2)(f(x),0),其中f(x)≠0; 3)(2,6); 4)0与0的最大公因式; 5).第29页，共88页，星期日，2025年，2月5日厦门大学数学科学学院gdjpkc.xmu.edu.cn最大公因式_存在性1引理设f(x),g(x),h(x)∈K[x] 若g(x)|f(x),则(f(x),g(x))=cg(x); 对任意h(x)∈K[x],成立(f(x),g(x))=(f(x)–h(x)g(x),g(x))注若f(x)=g(x)q(x)+r(x),则(f(x),g(x))=(g(x),r(x))定理设f(x),g(x)∈K[x],则存在d(x)∈K[x],使得(f(x),g(x))=d(x),且存在u(x),v(x)∈K[x],使d(x)=u(x)f(x)+v(x)g(x). (证明用Euclidean辗转相除法)第30页，共88页，星期日，2025年，2月5日