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《二次函数的图像和性质（6）》导学案

应用

【学习目标】

1．会通过配方求二次函数（）的最大值或最小值；

2．经历应用数学知识解决实际问题的全过程，在实际应用中体会二次函数作为一种数学模型的作用，会利用二次函数的性质求实际问题的最大值或最小值．

【重点难点】

重点：会通过配方求二次函数（）的最大值或最小值．

难点：在实际应用中体会二次函数作为一种数学模型的作用，会利用二次函数的性质求实际问题的最大值或最小值．

【课前自学】

1.画出下列函数的图象，并根据图象写出它们的最大值或最小值．

（1）；（2）；

2.通过配方求下列二次函数的最大值或最小值.

（1）；（2）

3.应用二次函数的有关知识去解决两个问题．

问题1：

要用总长为20m的铁栏杆，一面靠墙，围成一个矩形的花圃．怎样围法，才能使围成的花圃面积最大？

分析：设矩形花圃的垂直于墙的一边AB的长为xm，矩形的面积ym2

函数关系式为

（0＜x＜10）

即（0＜x＜10）

这个问题实际上是要求出自变量x为何值时，二次函数（0＜x＜10）取得最大值．

将这个函数的关系式配方，得．

显然，这个函数的图象开口向下，它的顶点坐标是（5，50），这就是说，

当x＝5时，函数取得最大值y＝50．

这时，AB＝5（m），BC＝20－2＝10（m）．

所以当围成的花圃与墙垂直的一边长5m，与墙平行的一边长10m时，花圃面积最大，最大面积为50m2．

问题2

某商店将每件进价为8元的某种商品按每件10元出售，一天可销出约100件．该店想通过降低售价、增加销售量的办法来提高利润．经过市场调查，发现这种商品单价每降低0.1元，其销售量可增加约10件．将这种商品的售价降低多少时，能使销售利润最大?

分析

在这个问题中，该商品每天的利润与其降价的幅度有关．设每件商品降价x元（0≤x≤2），该商品每天的利润为y元，y是x的函数，函数关系式为

y＝（10－x－8）（100＋100x）（0≤x≤2），

即（）.

实际上是要求出自变量x为何值时，二次函数（）取得最大值．

【课堂学习】

例用6m长的铝合金型材做一个形状如图26.2.5所示的矩形窗框．应做成长、宽各为多少时，才能使做成的窗框的透光面积最大？最大透光面积是多少？

解：设做成的窗框的宽为xm，则长为m．这里应有x＞0，且＞0，故＜x＜，做成的窗框的透光面积y与x的函数关系式是。

【课堂练习】

1.求函数的最大值或最小值

2．如图，有长24米的铁栏杆，一面利用墙（墙的最大长度为10米），围成中间隔有一道铁栏杆的长方形

花圃．设花圃中垂直于墙AD的一边AB的长为米，花圃的总面积为平方米．

（1）求与之间的函数关系式；

（2）如果花圃的总面积为45平方米，求AB的长；

（3）能否围成面积比45平方米更大的花圃？如果能，请求出最大面积，并说明围法；如果不能，请说明理由．

【课堂小测】

1.求函数的最大值或最小值.

2．有一根长为40cm的铁丝，把它弯成一个矩形框．当矩形框的长、宽各是多少时，矩形面积最大？最大面积是多少？

3．已知两个正数的和是60，它们的积最大是多少？

（提示：设其中的一个正数为x，将它们的积表示为x的函数）

【课后作业】

1.说出下列抛物线的开口方向、顶点坐标和对称轴．

（1）y＝x2－3x－4；（2）y＝2－4x－x2；（3）y＝x2－2x－1；

（4）y＝－x2＋6x－7；（5）y＝2x2－3x；（6）y＝－2x2－5x＋7．

2.下列抛物线有最高点或最低点吗？如有，写出这些点的坐标．

（1）y＝4x2－4x＋1；（2）y＝－4x2－9；

（3）y＝－4x2＋3x；（4）y＝3x2－5x＋6．

3.已知抛物线y＝ax2＋x＋2经过点（－1，0），求a的值，并求这条抛物线的顶点坐标．

【课后拓展】

1．求下列函数的最大值或最小值．

（1）当时，求的最大值或最小值；

（2）当时，求的最大值或最小值.