函数的连续性(116).pptxVIP

函数增量的概念设变量从它的一个初值变到终值则称与初值的差为变量的增量(改变量),记作即增量可以是正的,也可以是负的.当为正时,变量的终值大于初值当为负时,小于初值注:而是一个不可分割的记号不是与的积,记号.

设函数在点的某一领域内有定义1定义.个领域内从变到)时,相应地,函数从变到则称为函数的对应增量当自变量在处取得增量(即在这

连续函数的概念设函数在点的某一领域内有定义.定义2如果当自变量在点的增量趋于零时,函数对应的增量也趋于零,即或则称函数在处连续,称为的连续点.注:该定义表明,函数在一点连续的本质特征是:自变量变化很小时,对应的函数值的变化也很小.

例如,函数在点处是来连续的,因为在定义2中,若令即则当时,即当时,有

因而,函数在点处连续的定义又可叙述如下:定义3设函数在点的某一个领域内有定义.如果函数当时的极限存在,且等于它在点处的函数值即则称函数在点处连续.

由定义2知，例1试证函数在处连续.证又函数在处连续.

函数的左连续与右连续若函数在内有定义,且则称在点处左连续;若函数在内有定义,且则称在点处右连续.定理1函数在处连续的充要条件是函数在处既左连续又右连续.

例2讨论在处的连续性.解右连续但不左连续,故函数在点处不连续.

例3已知函数在点处连续，求的值.解因为点处连续，则即

连续函数与连续区间在区间内每一点都连续的函数,叫做在该区间内的连续函数,或者说函数在该区间内连续.如果函数在开区间内连续,并且在左端点处右连续,在右端点处左连续,则称连续函数的图形是一条连续而不间断的曲线.例如,有理整函数在区间内是连续的.函数在闭区间],[ba上连续.,

例4证即函数对任意都是连续的.证明函数在区间内连续.当时，

例5讨论在处的连续性.解所以,的左、右极限存在但不相等.即在点在点处不连续.函数

例6解讨论函数在处的连续性.所以在处不连续

例7处的连续性.解讨论函数在因为在即的右极限不存在.

例8讨论函数解在处的连续性.在处没有定义,且不存在.所以,函数处不连续.

例9取何值时，在处连续.解要使必须故当且仅当时，函数处连续.在

连续函数的四则运算定理1若函数在点处连续,则在点处也连续.例如,在内连续,故在其定义域内连续.

复合函数的连续性定理3设函数在点处连续,且而函数在点处连续,则复合函数在点处也连续.例如,在内连续,函数在内连续,函数在内连续.所以注:根据这个定理,求复合函数的极限

例10求解

初等函数的连续性定理4一切初级函数在其定义区间内都是连续的.定理4的结论非常重要,因为微积分的研究遇到的函数基本上是初等函数,其连续性的条件总是满足的,从而使微积分具有强大的生命力和广阔的应用前景.此外,根据定理4,求初等函数在其定义区间内某点的极限,只需求初等函数在该点的函数值即定义区间).

例11求因为是初等函数,且是其定义区间内的点,所以在点处连续,于是

最大值和最小值定理定义对于在区间上有定义的函数如果有使得对于任一都有则称是函数在区间上的最大(小)值.例如,在上,在上,

定理5(最大值和最小值定理)一定有最大值和最小值.在闭区间上连续的函数一定在该区间上有界.定理6(有界性定理)在闭区间上连续的函数

零点定理定义如果使则称为函数的零点.定理7(零点定理)设函数在闭区间上连续,且与异号(即即至少有一点使那么在开区内至少有函数间的一个零点,即方程在内至少存在一个实根.

例12证证明方程少有一个实根.令则在上连续.又由零点定理,使即方程根在区间内至在内至少有一个实

函数的连续与间断添加标题内容小结添加标题函数的左连续与右连续添加标题添加标题连续函数与连续区间添加标题连续函数的概念添加标题函数的间断点及其分类添加标题添加标题连续函数的运算添加标题连续函数的四则运算

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