第三节相似矩阵与方阵的对角化.pptVIP

第1页，共30页，星期日，2025年，2月5日一、相似矩阵与相似变换的概念第2页，共30页，星期日，2025年，2月5日1.等价关系相似矩阵与相似变换的性质第3页，共30页，星期日，2025年，2月5日证明第4页，共30页，星期日，2025年，2月5日推论若n阶方阵A与对角阵定理4.5若n阶方阵A与B相似，则A与B的秩相同，即第5页，共30页，星期日，2025年，2月5日二、利用相似变换将方阵对角化第6页，共30页，星期日，2025年，2月5日说明推论如果阶矩阵的个特征值互不相等，则与对角阵相似．如果的特征方程有重根，此时不一定有个线性无关的特征向量，从而矩阵不一定能对角化，但如果能找到个线性无关的特征向量，还是能对角化．第7页，共30页，星期日，2025年，2月5日例1判断下列实矩阵能否化为对角阵？解第8页，共30页，星期日，2025年，2月5日解之得基础解系第9页，共30页，星期日，2025年，2月5日求得基础解系第10页，共30页，星期日，2025年，2月5日解之得基础解系故不能化为对角矩阵.第11页，共30页，星期日，2025年，2月5日A能否对角化？若能对角例2解第12页，共30页，星期日，2025年，2月5日解之得基础解系第13页，共30页，星期日，2025年，2月5日所以可对角化.第14页，共30页，星期日，2025年，2月5日注意即矩阵的列向量和对角矩阵中特征值的位置要相互对应．第15页，共30页，星期日，2025年，2月5日定理4.7实对称矩阵的特征值为实数.说明：本节所提到的对称矩阵，除非特别说明，均指实对称矩阵．一个n阶方阵具备什么条件才能对角化,这是一个较复杂的问题,我们不作一般性讨论,仅讨论A为实对称阵的情形。三、实对称矩阵的相似对角化定理4.7的意义第16页，共30页，星期日，2025年，2月5日推论1n阶实对称矩阵必有n个线性无关的特征向量.推论2实对称矩阵一定与对角阵相似.第17页，共30页，星期日，2025年，2月5日证明它们的重数依次为根据定理4.7（对称矩阵的特征值为实数）和定理4.9(如上)可得：设的互不相等的特征值为第18页，共30页，星期日，2025年，2月5日由定理4.8知对应于不同特征值的特征向量正交，这样的特征向量共可得个.故这个单位特征向量两两正交.以它们为列向量构成正交矩阵，则第19页，共30页，星期日，2025年，2月5日根据上述结论，利用正交矩阵将对称矩阵化为对角矩阵，其具体步骤为：将特征向量正交化;3.将特征向量单位化.4.2.1.第20页，共30页，星期日，2025年，2月5日解例对下列各实对称矩阵，分别求出正交矩阵，使为对角阵.(1)第一步求的特征值第21页，共30页，星期日，2025年，2月5日