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高中数学概率与统计真题及答案(解析版)

一、选择题（本大题共2小题，每小题5，共10分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1.袋中装有5个红球、3个白球和2个黑球，这些球除颜色外完全相同。现从中不放回地依次摸出2个球，记事件A为“第一次摸到红球”，事件B为“第二次摸到白球”，则P(B|A)的值为（）

A.$\frac{3}{10}$B.$\frac{1}{3}$C.$\frac{3}{9}$D.$\frac{1}{4}$

2.某地区连续7天的最高气温（单位：℃）分别为28、30、32、31、29、33、30。用茎叶图表示这组数据时，茎的取值为（）

A.2、3B.28、30、32、31、29、33、30C.2、3、4D.8、0、2、1、9、3、0

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二、填空题（本大题共2小题，每小题5分，共10分。将答案填在题中横线上）

3.某班50名学生的数学成绩（满分150分）频率分布直方图如下：

（注：此处假设直方图分组为[80,90)、[90,100)、[100,110)、[110,120)、[120,130)，对应频率分别为0.04、0.16、0.30、0.32、0.18）

则该班学生数学成绩的中位数为______分（结果保留一位小数）。

4.已知随机变量X服从二项分布B(n,p)，且E(X)=6，D(X)=4.2，则n=______。

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三、解答题（本大题共2小题，共30分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

5.（15分）某工厂生产的某种零件，其长度（单位：mm）服从正态分布N(μ,σ2)。现从生产线上随机抽取20个零件，测量其长度得到如下数据：

10.110.310.29.910.010.410.110.29.810.3

10.010.110.210.59.710.110.310.010.210.4

（1）计算这20个零件长度的样本均值$\overline{x}$和样本方差$s^2$（结果保留两位小数）；

（2）若该零件长度的合格标准为[9.6,10.6]，根据正态分布的3σ原则，判断该生产线是否稳定（即是否有超过0.3%的零件长度不在合格范围内）。

6.（15分）某学校为研究学生数学成绩（X）与物理成绩（Y）的相关性，随机抽取10名学生的成绩如下表：

|学生|1|2|3|4|5|6|7|8|9|10|

|------|---|---|---|---|---|---|---|---|---|----|

|X|110|120|90|100|130|80|140|70|100|120|

|Y|95|105|80|90|115|75|125|65|85|100|

（1）计算X与Y的样本相关系数r（结果保留三位小数），并判断两者是否高度相关（|r|0.7为高度相关）；

（2）若以数学成绩X为解释变量，物理成绩Y为响应变量，求Y关于X的线性回归方程$\hat{y}=\hat{b}x+\hat{a}$（系数保留两位小数）；

（3）若某学生数学成绩为115分，预测其物理成绩（结果保留整数）。

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答案与解析

一、选择题

1.【答案】B

【解析】条件概率P(B|A)表示在事件A发生的条件下事件B发生的概率。第一次摸到红球后，袋中剩余9个球（4红、3白、2黑）。此时第二次摸到白球的概率为$\frac{3}{9}=\frac{1}{3}$，故选B。

2.【答案】A

【解析】茎叶图中，茎通常取数据的高位数字，叶取低位数字。题目中数据为28（2|8）、30（3|0）、32（3|2）等，最高位为2和3，因此茎的取值为2、3，故选A。

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二、填空题

3.【答案】110.6

【解析】设中位数为m，位于[110,120)组。前两组频率和为0.04+0.16=0.2，前三组频率和为0.2+0.30=0.5。由于中位数是累计频率为0.5的位置，而[110,120)组的频率为0.32，需计算该组内的具体位置：

$0.5-0.5=0$（前两组累计0.2，前三组累计0.5，说明中位数恰好在第三组结束？不，原题分组可能有误，正确分组应为[80,90)、[90,100)、[100,110)、[110,120)、[120,130)，对应频率0.04、0.16、0.30、0.32、0.18。累计频率到[100,110)组为0.04+0.16+0.30=0.5，因此中位数为110分？但题目可能实际分组为[80,90)、[90,100)、[1