第二十三章 旋转 专题 旋转中的常见几何模型（含答案）九上数学.docxVIP

第二十三章旋转

专题旋转中的常见几何模型

模型1半角(45°角)模型

【模型解读】

①△ADE≌△

①△AEF≌△AEG;②EF=DF+BE.

1.(1)如图①,在正方形ABCD中,E是CD边上一点,将△ADE绕点A顺时针旋转90°得到△ABF，观察可知，与DE相等的线段是___________,与∠AFB相等的角是____________;

(2)如图②,在正方形ABCD中,P,Q分别是BC,CD边上的点,且∠PAQ=45°,猜想线段DQ，BP，PQ之间的数量关系，并证明；

(3)在图②中,连接BD分别交AP,AQ于点M,N,请直接写出BM,DN,MN之间的数量关系.

模型2“互补”模型

【模型解读】如图,已知∠AOB=∠DCE=90°,OC平分∠AOB.

①CD=CE;②OD+OE=2OC;

2.如图,∠AOB=90°,OC平分∠AOB,以C为顶点作∠DCE=90°,交OA于点D,交OB于点E.

(1)求证:CD=CE;

(2)若OC=3,求OD+OE的长.

模型3一线三等角模型模型4手拉手模型

【模型解读】如图，△ABC为等腰直角三角形，AD⊥DE,CE⊥DE.

△ABD≌△BCE,DE=AD+CE.

3.如图①,在△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,DE是过点A的直线,BD⊥DE于点D,CE⊥DE于点E.

(1)求证:DE=BD+CE.

(2)若将△ABC绕点A旋转至图②的位置，其他条件不变，DE与BD，CE的关系如何?请予以证明.

模型4手拉手模型

【模型解读】

①△ACN≌△MCB;②∠NFB=60°.

①△DAC≌△BAE;②BE⊥CD.

①△DOA≌△FOC;②AD⊥CF.

4.【感知】如图①,△ABC和△ADE都是等腰直角三角形,∠BAC=∠DAE=90°,点B在线段AD上，点C在线段AE上，我们很容易得到BD=CE.

【探究】将△ADE绕点A逆时针旋转β(0°β90°),如图②,连接BD和CE,此时BD=CE是否依然成立?若成立，写出证明过程；若不成立，说明理由.

【应用】如图③，当△ADE绕点A逆时针旋转，使得点D落在BC的延长线上时，连接CE.

①∠ACE的度数是____________;

②若AB=AC=22

5.如图,A是线段BC上一点,△ABD和△ACE都是等边三角形.

(1)如图①,连接BE,CD,求证:BE=CD.

(2)如图②,将△ABD绕点A顺时针旋转得到△ABD.

①当旋转角为____________°时，边AD落在边AE上.

②在①的条件下,延长DD交CE于点P,连接BD,CD,请写出当线段AB,AC满足什么数量关系时,△BDD与△CPD全等?并给予证明.

模型5费马点模型

【模型解读】如图，

点M为△ABC内任意一点,连接AM,BM,CM,当M与三个顶点连线的夹角为120°时,MA+MB+MC的值最小

6.背景材料：在△ABC所在平面上求一点P，使它到三角形的三个顶点的距离之和最小.这个问题是法国数学家费马向意大利物理学家托里拆利提出的，所求的点被人们称为“费马点”.如图①,当△ABC三个内角均小于120°时,费马点P在△ABC内部,当∠APB=∠APC=∠CPB=120°时,PA+PB+PC取得最小值

(1)如图①,将△BPC绕点B顺时针旋转60°得到△BDE,连接PD,可得△BPD为等边三角形,故PD=PB,由旋转可得DE=PC,因此PA+PB+PC=PA+PD+DE,由_______________可知,PA+PB+PC的最小值与线段的_____________长度相等；

(2)如图②，在直角三角形ABC内部有一动点P,∠BAC=90°,∠ACB=30°,连接PA,PB,PC,若AB=2,求PA+PB+PC的最小值.

参考答案

1.【解】(1)BF;∠AED,∠BAE

(2)DQ+BP=PQ.

证明:在正方形ABCD中,∠ADC=∠ABC=90°.

如图①,将△ADQ绕点A顺时针旋转90°得到△ABE,则∠D=∠ABE=90°.

∴∠ABE+∠ABP=180°.∴E,B,P三点共线.

由旋转的性质知∠EAQ=90°,AE=AQ,BE=DQ.

∵∠PAQ=45°,∴∠PAE=45°.∴∠PAQ=∠PAE.

在△APE和△APQ中{

∴△APE≌△APQ.∴PE=PQ.

∵PE=PB+BE=PB+DQ,∴DQ+BP=PQ.

(3)BM2+DN2=MN2.【点拨】如图②,将△ADN绕点A顺时针旋转90°得到△ABK,连接KM.

∵四边形ABCD为正方形，∴∠ABD=∠ADB=45°.

由旋转的性质得∠NAK=90°,∠ABK=∠ADN=45°,BK=DN,A