在概率论中随机或简称指一个被赋与机率事物集合也就样本空间徐汇复旦数学.pdfVIP

在概率论中，随机（或简称）指的是一个被赋与机率的事物集合，也就是样本空间

中的一个子集。简单来说，在一次随机试验中，某个特定可能出现也可能不出现；但当

试验次数增多，我们可以观察到某种规律性的结果，就是随机。基本上，只要样本空间

是有限的，则在样本空间内的任何一个子集合，都可以被称为是一个。然而，当样本空

间是无限的时候，特别是不可数之时，就常常不能定义所有的子集为随机了。因此，为

了定义一个概率空间，常常需要去掉样本空间的某些子集，规定他们不能成为。

假设我们有一堆52张的牌，并闭着眼睛在这堆牌中抽取一张牌，那么用概率论的术语

来说，我们实际上是在做一个随机试验。这时，我们的样本空间是一个有着52个元素的集

合，因为任意一张牌都是一个可能的结果。而一个随机，则是这个样本空间的任意一个

子集。运用组合知识可以知道，随机一共有种。当这个仅仅包括样本空间的一个元

素（或者说它是一个单元素集合）的时候，称这个为一个基本。比如说“抽到

的牌是黑桃7”。当是空集时，称这个为不可能。当是全集时，则称是

必然。其它还有各种各样的，比如：

“抽到的牌是小王”（也是不可能）

“抽到的牌是红桃3”（基本）

“抽到的牌数字是9”（包含4个元素）

“抽到的牌是方片”（包含13个元素）

“抽到的牌是红颜色的并且数字小于等于10”（包含20个元素）

“抽到的牌不是红桃3”（包含51个元素）

由于是样本空间的子集，所以也可以写成集合的形式。有时候写成集合的形式可能会很

。有时候也可以用文氏图来表示，这时可以用所代表图形的面积来按比例显示

的概率。

与概率空间

当样本空间有限的时候，称为古典概型。这时可以（也是一般用到的）取样本空间的所有的

子集作为。然而，当样本空间不是有限的时候，特别是当样本空间是实数的时候，就不

能取所有的子集作为了。其中的根本在于概率的定义。一般来说，当研究一个随机

的时候，我们希望知道它发生的概率。发生的概率是一个介于0和1之间的数。当

样本空间是不可数的时候，如果我们取样本空间所有的子集，那么概率论的公理系统会产生

数学上的，也就是说，会有一些子集无法被定义概率。具体地说，概率论的公理系统是

由三个部份组成的，又称为概率空间。这个空间包括：样本空间、集合（又称为体）以

及定义在这上面的一个取概率的运算：。其中的集合是一个σ-代数，而取概率的运算需

要满足概率的加法公理（σ-Additive）：

如果一系列两两互斥（也就是说对任意的，都是空集。

此亦称为pairwisedisjoint）那么就有：

这个公理是符合一般人的的：如果几件事情互相之间相互排斥，那么“它们几个中有一

个发生”的概率应该等于其中每一个发生的概率的和。

然而，对于不可数的样本空间