第二节多元函数的基本概念.pptVIP

四、二元函数的连续性定义3（1）二元函数连续的概念第31页，共44页，星期日，2025年，2月5日例6利用极坐标变换，设x=ρcosθ,y=ρsinθ，则解所以函数在（0，0）连续.第32页，共44页，星期日，2025年，2月5日注意：二元函数可能在某些孤立点处间断，也可能在曲线上的所有点处均间断。例如(1)因此，例如(2)第33页，共44页，星期日，2025年，2月5日第二节多元函数的基本概念第1页，共44页，星期日，2025年，2月5日一、平面区域的概念（1）邻域回忆第2页，共44页，星期日，2025年，2月5日（1）邻域一、平面区域的概念°°第3页，共44页，星期日，2025年，2月5日注：来描述，称为方形邻域。而前述领域称为圆形邻域。°δP0显然，任何圆形邻域内必含方形邻域，任何方形邻域内必含圆形邻域。第4页，共44页，星期日，2025年，2月5日（2）区域例如，即为开集．内点.（如下图）内点：开集：开集.U(P)∩E=Ф外点第5页，共44页，星期日，2025年，2月5日连通：连通的.开区域：连通的开集称为区域或开区域．例如，（不连通）第6页，共44页，星期日，2025年，2月5日边界点：边界点.例如，圆周x2+y2=1和x2+y2=4均为圆的边界.第7页，共44页，星期日，2025年，2月5日例如，闭区域：第8页，共44页，星期日，2025年，2月5日对于点集E，如果存在正数K，使一切点P∈E与某一点O间的距离|OP|不超过K，即对于一切点P∈E成立，则称E为有界点集。否则称为无界点集.有界闭区域；无界开区域．例如，第9页，共44页，星期日，2025年，2月5日（3）聚点（1）内点一定是聚点；说明：（2）边界点可能是聚点；例如，(0,0)既是边界点也是聚点．补充第10页，共44页，星期日，2025年，2月5日（3）点集E的聚点可以属于E，也可以不属于E．例如,(0,0)是聚点但不属于集合．例如,边界上的点都是聚点也都属于集合．第11页，共44页，星期日，2025年，2月5日（4）n维空间实数x一一对应数轴点.数组(x,y)实数全体表示直线(一维空间)一一对应平面点(x,y)全体表示平面(二维空间)数组(x,y,z)一一对应空间点(x,y,z)全体表示空间(三维空间)推广：n维数组(x1,x2,…,xn)全体称为n维空间，记为第12页，共44页，星期日，2025年，2月5日n维空间中两点间距离公式设两点为特殊地，当n=1,2,3时，便为数轴、平面、空间两点间的距离．n维空间中邻域概念：区域、内点、边界点、区域、聚点等概念也可定义．第13页，共44页，星期日，2025年，2月5日（1）二元函数的定义回忆点集D---定义域，---值域.x、y---自变量，z---因变量.二、二元函数的概念第14页，共44页，星期日，2025年，2月5日类似地可定义三元及三元以上函数．点集D---定义域，---值域.x、y---自变量，z---因变量.函数的两个要素:定义域、对应法则.第15页，共44页，星期日，2025年，2月5日与一元函数相类似，对于定义域约定：定义域是自变量所能取的使算式有意义的一切点集.例1求的定义域．解所求定义域为第16页，共44页，星期日，2025年，2月5日（2）二元函数的图形（如下页图）第17页，共44页，星期日，2025年，2月5日二元函数的图形通常是一张曲面.第18页，共44页，星期日，2025年，2月5日例如,图形如右图.例如,右图球面.单值分支:第19页，共44页，星期日，2025年，2月5日三、二元函数的极限第20页，共44页，星期日，2025年，2月5日（4）二重极限的几何意义*??0，?P0的去心?邻域oU(P0,?)。在oU(P0,?)内，函数的图形总在平面及之间。补充第21页，共44页，星期日，2025年，2月5日说明：（1）定义中的方式是任意的；（2）二元函数的极限也叫二重极限（3）二元函数的极限运算法则与一元函数类似．第22页，共44页，星期日，2025年，2月5日例2求证证当