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第三讲状态估计技术第1页，共27页，星期日，2025年，2月5日一、数理统计相关知识回顾1.数学期望离散型随机变量的一切可能的取值xi与对应的概率Pi(=xi)之积的和称为该离散型随机变量的数学期望（设级数绝对收敛），记为E（x）。其含义实际上是随机变量的平均取值。它反映随机变量平均取值的大小。又称期望或均值。第2页，共27页，星期日，2025年，2月5日2.方差方差是各个数据与平均数之差的平方的平均数。在概率论和数理统计中，方差（英文Variance）用来度量随机变量和其数学期望（即均值）之间的偏离程度。在许多实际问题中，研究随机变量和均值之间的偏离程度有着很重要的意义。方差是实际值与期望值之差平方的期望值，通俗点讲，就是和中心偏离的程度。D(X)=E{[X-E(X)]2}第3页，共27页，星期日，2025年，2月5日3.标准差标准差为方差的算术平方根，用S表示。标准差与方差不同的是，标准差和变量的计算单位相同，比方差清楚，因此很多时候我们分析的时候更多的使用的是标准差。第4页，共27页，星期日，2025年，2月5日4.协方差两个不同参数之间的方差就是协方差，协方差用于衡量两个变量的总体误差。而方差是协方差的一种特殊情况，即当两个变量是相同的情况。期望值分别为E(X)=μ与E(Y)=ν的两个实数随机变量X与Y之间的协方差定义为：COV(X，Y)=E[(X-E(X))(Y-E(Y))]第5页，共27页，星期日，2025年，2月5日直观上来看，协方差表示的是两个变量总体误差的方差，这与只表示一个变量误差的方差不同。如果两个变量的变化趋势一致，也就是说如果其中一个大于自身的期望值，另外一个也大于自身的期望值，那么两个变量之间的协方差就是正值。如果两个变量的变化趋势相反，即其中一个大于自身的期望值，另外一个却小于自身的期望值，那么两个变量之间的协方差就是负值。如果X与Y是统计独立的，那么二者之间的协方差就是0。第6页，共27页，星期日，2025年，2月5日换句话说，协方差就是用来衡量两个样本之间的相关性有多少，也就是一个样本的值的偏离程度，会对另外一个样本的值偏离产生多大的影响，协方差是可以用来计算相关系数的，相关系数P=Cov(a.b)/Sa*Sb,Cov(a.b)是协方差，Sa，Sb分别是样本标准差。第7页，共27页，星期日，2025年，2月5日5.相关系数也称为线性相关系数、皮氏积矩相关系数等，是衡量两个随机变量之间线性相关程度的指标。它由卡尔·皮尔森(KarlPearson)在1880年代提出，现已广泛地应用于科学的各个领域。两个变量的协方差除以他们的方差乘积的算术平方根等于这两个变量的线性相关系数第8页，共27页，星期日，2025年，2月5日6.白噪声与高斯白噪声白噪声是指功率谱密度在整个频域内均匀分布的噪声。所有频率具有相同能量的随机噪声称为白噪声。从我们耳朵的频率响应听起来它是非常明亮的“咝”声（每高一个八度，频率就升高一倍。因此高频率区的能量也显著增强）。高斯白噪声：如果一个噪声，它的幅度分布服从高斯分布，而它的功率谱密度又是均匀分布的，则称它为高斯白噪声。第9页，共27页，星期日，2025年，2月5日二、卡尔曼滤波卡尔曼全名RudolfEmilKalman，匈牙利数学家，1930年出生于匈牙利首都布达佩斯。1953，1954年于麻省理工学院分别获得电机工程学士及硕士学位。1957年于哥伦比亚大学获得博士学位。我们现在要学习的卡尔曼滤波器，正是源于他的博士论文和1960年发表的论文《ANewApproachtoLinearFilteringandPredictionProblems》（线性滤波与预测问题的新方法）。第10页，共27页，星期日，2025年，2月5日简单来说，卡尔曼滤波器是一个“optimalrecursivedataprocessingalgorithm（最优化自回归数据处理算法）”。对于解决很大部分的问题，他是最优，效率最高甚至是最有用的。他的广泛应用已经超过30年，包括机器人导航，控制，传感器数据融合甚至在军事方面的雷达系统以及导弹追踪等等。近年来更被应用于计算机图像处理，例如头脸识别，图像分割，图像边缘检测等等。第11页，共27页，星期日，2025年，2月5日卡尔曼滤波器的介绍其中5条公式是其核心内容。在介绍他的5条公式之前，先让我们来根据下面的例子一步一步的探索。假设我们要研究的对象是一个房间的温度。根据你的经验判断，这