4.2.1 回归直线方程 学案（含答案） 高二数学湘教版选择性必修2.docxVIP

4．2.1回归直线方程

学习目标

(1)通过实例，掌握具有线性相关关系的两个变量，求其回归直线方程．(2)了解最小二乘法原

理，掌握一元线性回归模型参数的最小二乘估计方法．

课前预习

要点一回归分析

找出与散点图中各点散布趋势相似的直线，使各点经过或充分靠近该直线，这条直线叫作

________，这条直线的方程叫作____________．由散点图求出回归直线并进行统计推断的过程叫作回归分析．

如果具有相关关系的两个变量x，y可用方程y＝a＋bx来近似刻画，则称它为y关于x的一元线性回归方程，其中a，b称为回归系数．

要点二一元线性回归模型?

当自变量x取值xi(i＝1，2，…，n)时，将根据回归直线方程估计出的yi与实际观测值yi的误

差，即yi－yi＝yi－(a＋bxi)(i＝1，2，…，n)，称为随机误差，记作ei.把yi＝a＋bxi＋ei(i＝1，

2，…，n)，这一描述因变量y如何依赖于自变量x和随机误差ei的方程称为一元线性回归模型．

要点三最小二乘法

用随机误差的平方和即Q＝i=1n(yi－a－bxi)2作为总随机误差来刻画各估计值与实际值之间的误差．若总随机误差最小，则这条直线就是所要求的回归直线．由于平方又叫二乘方，所以这种使“随机误差平方和最小”的方法叫作最小二乘法．用最小二乘法求出的

此时，用最小二乘法得到的回归直线方程为yi＝a＋bx?，其中a是回归直线在y轴上的截距，b是回归直线的斜率?

基础自测

1．判断正误(正确的画“√”，错误的画“×”)

(1)线性回归方程适用于一切样本和总体．()

(2)样本取值的范围会影响线性回归方程的适用范围．()

(3)回归直线方程得到的预测值是预测变量的精确值．()

2．某商品销售量y(件)与销售价格x(元/件)负相关，则其回归直线方程可能是()

A．y＝－10x＋200B．y＝10x＋200

C．y＝－10x－200D．y＝10x－200

3．根据如下样本数据，得到回归直线方程为y＝a＋bx，则()

A.a0，b0B．a0，b

C.a0，b0D．a0，b

4．已知x与y之间的一组数据，则y与x的回归直线方程y＝bx＋a必过点________．

题型探究·课堂解透——强化创新性

题型1求回归直线方程

例1某研究机构对高三学生的记忆力x和判断力y进行统计分析，得下表数据：

x

6

8

10

12

y

2

3

5

6

相关公式：

(1)请画出上表数据的散点图；

(2)请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出y关于x的回归直线方程：y＝bx＋a.

方法归纳

求回归直线方程的基本步骤

巩固训练1对于数据组：

x

2

3

4

5

y

1.9

4.1

6.1

7.9

(1)作散点图，你能直观上得到什么结论？

(2)求回归直线方程．

参考公式：b＝＝.

题型2回归分析

例2甲、乙、丙、丁四位同学各自对A，B两变量做回归分析，分别得到散点图与误差平方和i=1n(yi－y

哪位同学的试验结果拟合A，B两变量关系的精度高？()

A.甲B．乙C．丙D．丁

方法归纳

根据线性相关的知识可知，散点图中各样本点条状分布越均匀，同时保持随机误差的平方和越小，由回归分析建立的线性回归模型的拟合效果越好．

巩固训练2根据一组样本数据(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)的散点图分析x与y之间具有线性相关关系，其回归直线方程为y＝－0.42x＋12，则在样本点(10，8.2)处的随机误差为

()

A．8.2B．0.4C．7.8D．0.42

参考答案

课前预习

要点一

回归直线回归直线方程

[基础自测]

1．(1)×(2)√(3)×

2．解析：∵y与x负相关，∴排除B，D，又∵C项中x0时，y0不合题意，∴C错．故选A.

答案：A

3．解析：根据表中数据可知，随着x的增加y减小，故y与x是负相关，故回归直线斜率为负，故b0；再结合散点图以及直线的性质，根据x＝4，5，6，7时y均为正可知回归直线当x＝0时与y轴截距为正，故a0.故选B.

答案：B

4．解析：由数据可知：x＝2+5+7+104＝6；y＝1+3+5+7

答案：(6，4)

题型探究·课堂解透

例1解析：(1)依题意可得散点图如图所示：

(2)i=14xiyi＝6×2＋8×

x＝6+8+10+124＝9，y＝2+3+5+6

i=14xi2＝62＋82＋10

b＝158?4×9×4344?4×81＝14

故回归直线方程为y＝0.7x－2.3.

巩固训练1解析：(1)

由图知：两个变量呈线性关系且正相关．

(2)由数据知：x＝2+3+4+54

y＝1.9+4.1+6.1+7.94

i=1nxi