【数学】上海市杨浦高级中学2023届高三下学期开学考试数学试卷.docxVIP

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绝密★启用前

上海市杨浦高级中学2023届高三下学期开学考试数学试卷

学科：数学

考试范围：____；考试时间：____分钟；命题人：____

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

题号

一

二

总分

得分

注意事项：

1、答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息

2、请将答案正确填写在答题卡上

第I卷（选择题）

请点击修改第Ⅰ卷的文字说明

评卷人

得分

一、选择题（共4题）

1.已知数列的各项均为正数，其前n项和为，满足，给出下列四个结论：

①的第2项小于3；②为等比数列；③为递减数列；④中存在小于的项

其中正确结论的个数是（）

A．1

B．2

C．3

D．4

2.北京冬奥会的举办掀起了一阵冰雪运动的热潮．某高校在本校学生中对“喜欢滑冰是否与性别有关”做了一次调查，参与调查的学生中，男生人数是女生人数的倍，有的男生喜欢滑冰，有的女生喜欢滑冰．若根据独立性检验的方法，有的把握认为是否喜欢滑冰和性别有关，则参与调查的男生人数可能为（）

参考公式：，其中．

参考数据：

A．

B．

C．

D．

3.命题“对任意一个实数，都有”的否定是（）

A．存在实数，使得

B．对任意一个实数，都有

C．存在实数，使得

D．对任意一个实数，都有

4.如图，已知正方体的棱长为1，点M为棱AB的中点，点P在侧面及其边界上运动，则下列选项中不正确的是（）

A．存在点P满足

B．存在点P满足

C．满足的点P的轨迹长度为

D．满足的点P的轨迹长度为

第Ⅱ卷（非选择题）

请点击修改第Ⅱ卷的文字说明

评卷人

得分

二、非选择题（共16题）

5.某设备的使用年数与所支出的维修总费用的统计数据如下表：

使用年数（单位：年）

2

3

4

5

6

维修总费用（单位：万元）

1.5

4.5

5.5

6.5

7.5

根据上表可得经验回归方程为.则处的预测值为__________万元.

6.设随机变量，若，则=_________．

7.2022年10月16日至10月22日，党的二十大在北京顺利召开，为深入学习宣传贯彻党的二十大精神，某单位随机抽取了部分党员，对他们一周的“二十大”学习时间进行了统计，统计数据如下表所示：

“二十大”学习时间（小时）

7

8

9

10

11

党员人数

6

10

9

7

8

则可估计该单位党员一周学习“二十大”的时间的第百分位数是____________．

8.圆的过点的切线方程为___________.

9.若，的最小值是______．

10.在平面直角坐标系中，动圆与圆内切，且与圆外切，记动圆的圆心的轨迹为.

(1)求轨迹的方程；

(2)不过圆心且与轴垂直的直线交轨迹于两个不同的点，连接交轨迹于点.

（i）若直线交轴于点，证明：为一个定点；

（ii）若过圆心的直线交轨迹于两个不同的点，且，求四边形面积的最小值.

11.已知集合，，若，则_________.

12.已知函数的部分图像如图所示.

(1)求的解析式及对称中心；

(2)先将的图像纵坐标缩短到原来的，再向左平移个单位后得到的图像，求方程在的解集.

13.中，，，，则的外接圆半径为___________.

14.电视传媒公司为了解某地区电视观众对某类体育节目的收视情况，随机抽取了100名观众进行调查.如图是根据调查结果绘制的观众日均收看该体育节目时间的频率分布直方图：将日均收看该体育节目时间不低于40分钟的观众称为“体育迷”.将上述调查所得到的频率视为概率.

(1)现在从该地区大量电视观众中，采用随机抽样方法每次抽取1名观众，抽取3次，记被抽取的3名观众中的“体育迷”人数为.若每次抽取的结果是相互独立的，求的分布及期望.

(2)用分层抽样的方法从这100名观众中抽取8名作为样本A，则样本A中“体育迷”和非“体育迷”分别有几人?从样本A的这8名观众中随机抽取3名，记Y表示抽取的是“体育迷”的人数，求Y的分布及方差.

15.如图，矩形ABCD中，AC是对角线，设∠BAC＝α，已知正方形S1和正方形S2分别内接于Rt△ACD和Rt△ABC，则的取值范围为______．

16.已知，，则在上的投影向量为________．

17.如图，四棱锥的底面是边长为2的菱形，，底面，，E是PC的中点，F是PB上的点，且.

(1)求直线AF与底面所成角的正弦值；

(2