第十七变分法.pptVIP

(2)不依赖于且则E-L方程化为（17.2.8）(3)不依赖于且则E-L方程化为（17.2.9）第30页，共52页，星期日，2025年，2月5日由此可见仅为的函数．(4)关于是线性的：则E-L方程化为（17.2.10）对于含有一个自变量，多个变量函数，以及有较高阶变量函数导数的泛函，类似上面的推导可得如下结论：第31页，共52页，星期日，2025年，2月5日2.泛函表示为多个函数的积分形式则与此泛函极值问题相应的E-L方程为（17.2.11）第32页，共52页，星期日，2025年，2月5日3.泛函的积分形式中含有高阶导数与此泛函极值问题相应的E-L方程为第33页，共52页，星期日，2025年，2月5日（17.2.12）4.泛函的积分形式中含有多元函数设为的二元函数，则第34页，共52页，星期日，2025年，2月5日与此泛函极值问题相应的E-L方程为（17.2.13）例17.2.1试求解最速降线落径问题，即变分问题【解】目前，我们只能用间接方法来求解，由于第35页，共52页，星期日，2025年，2月5日不显含，故其E-L方程为（17.2.7）式令，故有第36页，共52页，星期日，2025年，2月5日令，分离变量得到再令，代入上式得到即得到第37页，共52页，星期日，2025年，2月5日第1页，共52页，星期日，2025年，2月5日如果某个定解问题不能严格解出，但另一个与它差别甚微的定解问题能严格解出，那么就可以运用微扰法求近似解．量子力学教科书中一般都要介绍微扰法，限于篇幅，本书就不再重复介绍．近似解法涉及：变分法，有限差分法和模拟法等．变分法是研究求解泛函极值（极大或极小）的方法，变分问题即是求泛函的极值问题．把定解问题转化为变分问题，再求变分问题的解．第2页，共52页，星期日，2025年，2月5日变分法的优点:(2)变分法易于实现数学的统一化．因为一般而言，数学物理方程的定解问题都可以转化为变分问题．尤其是前面介绍的斯特姆－刘维尔本征值问题可转化为变分问题，变分法提供了施－刘型本征值问题的本征函数系的完备性等结论的证明；(1)变分法在物理上可以归纳定律．因为几乎所有的自然定律都能用变分原理的形式予以表达；第3页，共52页，星期日，2025年，2月5日(3)变分法是解数学物理定解问题常用的近似方法，其基本思想是把数学物理定解问题转化为变分问题由直接解变分问题发展了一些近似解法，其中最有用的是里茨（Ritz）法．由于里茨法中的试探函数的选取较为麻烦，计算系数矩阵也十分困难，随着计算机的展，又迅速发展了一种有限元法；(4)变分法的应用不仅在经典物理和工程技术域，而且在现代量子场论，现代控制理论和现代信息理论等高技术领域都有十分广泛的应用．第4页，共52页，星期日，2025年，2月5日有限差分法：有限差分法把定解问题转化为代数方程，然后通过电子计算机求定解问题的数值解．模拟法：即用一定的物理模型来模拟所研究的定解问题，而在模型上实测解的数值．变分法是这些方法中最为重要和切实有效的方法，已经广泛应用于科学研究和工程计算之中，限于篇幅故本书主要详细介绍经典变分法的基本概念和理论．第5页，共52页，星期日，2025年，2月5日17.1变分法的基本概念定义17.1.1变分法变分问题变分法就是求泛函极值的方法．变分问题即是求泛函的极值问题．17.1.1泛函变分法研究的对象是泛函，泛函是函数概念的推广．为了说明泛函概念先看一个例题：第6页，共52页，星期日，2025年，2月5日考虑著名的最速降线落径问题。如图17.1所示，已知A和B为不在同一铅垂线和不同高度的两点，要求找出A、B间的这样一条曲线，当一质点在重力作用下沿这条曲线无摩擦地从A滑到B时，所需的时间T最小．图17.1第7页，共52页，星期日，2025年，2月5日我们知道，此时质点的速度是因此从A滑到B所需的时间为即为（17.1.1）第8页，共52页，星期日，2025年，2月5日式中代表对求一阶导数．我们称上述的为的泛函，而称为可取的函数类，为泛函的定义域。简单地说，泛函就是函数的函数（不是复合函数的那种含义）．一般来说，设C是函数的集合，B是实数或复数的集