第二章 2.3　函数的奇偶性、周期性.pptxVIP

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;;1．函数的奇偶性

;2.函数的周期性

(1)周期函数：一般地，设函数f(x)的定义域为D，如果存在一个非零常数T，使得对每一个x∈D都有x＋T∈D，且_____________，那么函数y＝f(x)就叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期．

(2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个____的正数，那么这个________就叫做f(x)的最小正周期．

;1．奇函数在关于原点对称的区间上具有相同的单调性；偶函数在关于原点对称的区间上具有相反的单调性．

2．函数周期性常用结论

对f(x)定义域内任意自变量的值x：

(1)若f(x＋a)＝－f(x)，则T＝2a(a0).

;1．判断（正确的画“√”，错误的画“×”）

(1)函数y＝x2在(0，＋∞)上是偶函数．()

(2)若函数f(x)为奇函数，则一定有f(0)＝0.()

(3)若T是函数f(x)的一个周期，则nT(n∈Z，n≠0)也是函数f(x)的周期．()

(4)对于函数y＝f(x)，若存在x，使f(－x)＝－f(x)，则函数y＝f(x)一定是奇函数．()

;2．（多选）（人教A版必修第一册P84例6改编）给出下列函数，其中是奇函数的有()

A．f(x)＝x4 B．f(x)＝x5

;0;;考点1函数奇偶性的判断;

【解】显然函数f(x)的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称．

因为当x＜0时，－x＞0，则f(－x)＝－(－x)2－x＝－x2－x＝－f(x)；

当x＞0时，－x＜0，则f(－x)＝(－x)2－x＝x2－x＝－f(x).

综上可知，对于定义域内的任意x，总有f(－x)＝－f(x)成立，所以函数f(x)为奇函数．

;;(2)图象法

(3)性质法

在公共定义域内有：奇±奇＝奇，偶±偶＝偶，奇×奇＝偶，偶×偶＝偶，奇×偶＝奇．

注意：函数定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的前提条件．

;【对点训练1】(1)（2024·天津卷）下列函数是偶函数的是()

;(2)已知f(x)为R上的奇函数，g(x)为R上的偶函数，且g(x)≠0，则下列说法正确的是()

A．f(x)＋g(x)为R上的奇函数

B．f(x)－g(x)为R上的偶函数

;考点2函数奇偶性的应用;C;A;(2)（2024·安徽安庆三模）已知函数f(x)＝ax|x|的图象经过点(2，8)，则关于x的不等式9f(x)＋f(4－x2)0的解集为()

A．(－∞，－4)∪(1，＋∞)

B．(－4，1)

C．(－∞，－1)∪(4，＋∞)

D．(－1，4)

;【解析】由题意知f(2)＝4a＝8，解得a＝2，所以f(x)＝2x|x|，其在R上单调递增，又因为f(－x)＝－2x|－x|＝－2x|x|＝－f(x)，所以函数f(x)为奇函数，9f(x)＝f(3x)，所以不等式9f(x)＋f(4－x2)0可化为f(3x)－f(4－x2)＝f(x2－4)，于是3xx2－4，即x2－3x－40，解得x4或x－1.故选C.

;;A;(2)（2024·山西运城三模）设函数f(x)＝log2|x|－x-2，则不等式f(x－2)≥f(2x＋2)的解集为()

A．[－4，0]

B．[－4，0）

C．[－4，－1）∪(－1，0]

D．[－4，－1)∪(－1，0)

;考点3函数的周期性及应用;(2)设f(x)是定义在R上以2为周期的奇函数，当x∈[0，1）时，f(x)＝log2(x＋

1)，则函数f(x)在[4，6]上的解析式是_______________________________．;【解析】因为f(x)是定义在R上以2为周期的奇函数且x∈[0，1）时，f(x)＝log2(x＋1)，设x∈[4，5），则x－4∈[0，1），所以f(x)＝f(x－4)＝log2(x－3)；设x∈（5，6]，则x－6∈(－1，0]，－（x－6)∈[0，1），故f(x)＝f(x－6)＝－f[－(x－6)]＝－log2(6－x＋1)＝－log2(7－x)，又f(5)＝f(1)＝f(－1)＝－f(1)，所以f(5)＝0.综上可得，函数f(x)在[4，6]上的解析式是f(x)＝;;【对点训练3】(1)（2024·贵州六盘水三模）定义在R上的奇函数f(x)，满足f(x＋3)＝f(1－x)，x∈[0，2]时，f(x)＝mex－1，则f(31)＝()

A．e＋1 B．e－1

C．1－e D．－e

解析：因为定义在R上的奇函数f(x)，满足f(x＋3)＝f(1－x)，所以f(x＋3)＝f(1－x)＝－f(x－1)＝－f(x－4＋3)＝－f[1－(x－4)]＝－f(5－x)＝f(x－5)，故f(x)的周期为8，当x∈[0，2]时，f(x)