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江苏省南通市2024-2025学年高三下学期四模数学试题

数学试卷

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1.已知集合，，，则（）

A. B. C. D.

【答案】B

【解析】

【分析】先求并集，再求补集即可.

【详解】，，则，

又，则.

故选：B.

2.设，为纯虚数，则（）

A. B. C. D.3

【答案】A

【解析】

【分析】利用复数的乘法，结合纯虚数的定义求解.

【详解】依题意，，而，

则，解得

故选：A

3.已知向量，，若，则（）

A. B.1 C. D.2

【答案】D

【解析】

【分析】利用向量数量积运算律和数量积坐标公式计算即可.

【详解】因，，则，，

由可得，解得.

故选：D.

4.记数列的前项和为，若，，且是公比为2的等比数列，则（）

A.93 B.1023 C.2047 D.3069

【答案】B

【解析】

【分析】先求出，从而得到的值，相加即可.

【详解】的首项为，故，

所以，，，，

故.

故选：B

5.一个数阵有行4列，第一行中的4个数互不相同，其余行都由这4个数以不同的顺序组成.如果要使任意两行的顺序都不相同，那么的值最大可取（）

A.6 B.12 C.24 D.48

【答案】C

【解析】

【分析】根据排列的意义结合排列数的计算，即可得答案.

【详解】由于4个数互不相同，故将这4个数全排列共有种排序方法，

而一个数阵有m行4列，要使任意两行的顺序都不相同，故m的值最大为24，

故选：C.

6.若半径为1的球与正三棱柱的各个面均相切，则该正三棱柱外接球的表面积为（）

A. B. C. D.

【答案】D

【解析】

【分析】根据半径为1的球与正三棱柱的各个面均相切，可得正三棱柱的高和底面正三角形的内切圆半径，可求出底面正三角形的外接圆半径，可求出外接球的半径和表面积．

【详解】因为半径为1的球与正三棱柱的各个面均相切，

所以正三棱柱的高，底面正三角形的内切圆半径为1，

则底面正三角形的外接圆半径，

所以该正三棱柱外接球半径为，

所以外接球的表面积为．

故选：D．

7.已知抛物线的焦点是双曲线的一个顶点，为与的交点，，则的渐近线方程为（）

A. B. C. D.

【答案】B

【解析】

【分析】求出，得到，由抛物线焦半径公式得到，进而求出，代入双曲线方程，得到，求出渐近线方程.

【详解】由题意得，的一个顶点坐标为，

故，

由于为与的交点，，故，解得，

将代入中得，

将，代入中得，

又，故，

所以的渐近线方程为.

故选；B

8.已知函数若对于任意，，则实数的取值范围是（）

A. B. C. D.

【答案】C

【解析】

【分析】根据的解析式，结合函数的单调性可得：等价于且，从而可知不等式在,上恒成立，然后根据基本不等式求最值，算出的最小值为，进而可得实数的取值范围．

【详解】对于，函数在上为常数1，

在处连续，且在上为增函数，

因此等价于，对任意恒成立，

由①可知，，结合②可得，

而，

当时，即时，等号成立，

结合，可知在,上为增函数，可得，

所以，即实数的取值范围是．

故选：C．

【点睛】思路点睛：本题是含参数的不等式恒成立问题；解决此类问题的思路是转化为最值问题，即f(x)＜a恒成立?a＞f(x)max，f(x)＞a恒成立?a＜f(x)min.

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9.某研究机构随机选取了100位高三女生及其父亲的身高数据进行研究，计算得到样本相关系数，女生身高（单位：）关于父亲身高（单位：）的经验回归方程为，下列判断正确的是（）

A.女生身高和父亲身高正相关

B.女生身高和父亲身高不存相关关系

C.已知父亲身高为，估计女儿的身高为

D.若从样本中抽取一部分，则这部分的相关系数一定是0.8985

【答案】AC

【解析】

【分析】利用经验回归方程求解判断AC；利用相关系数的意义判断BD.

【详解】对于A，由经验回归方程为，得，则女生身高和父亲身高正相关，A正确；

对于B，由知，女生身高和父亲身高有较强的相关关系，B错误；

对于C，当时，，估计女儿的身高为，C正确；

对于D，从样本中抽取一部分，相关性可能变强，也可能变弱，所以这部分的相关系数不一定是0.8985，D错误.

故选：AC

10.已知函数，，则（）

A.

B.

C.在上有3个零点

D.有3个零点

【答案】BCD

【解析】

【分析】根据给定条件，求出参数