积分计算旋转体的体积.pptxVIP

6.2定积分的几何应用1用二重积分计算旋转体的体积蜀南竹海

作为定积分的几何应用，旋转体的体积一般是用定积分来计算。01本课件用元素法来推导旋转体体积的二重积分的计算公式。02将二重积分化为二次积分可以得到计算旋转体体积的定积分公式、03最后，举例加以说明。04

旋转轴为坐标轴6.2定积分的几何应用3先看特殊的情形

设D是上半平面内的一个有界闭区域。

将D绕x轴旋转一周得一旋转体，求该旋转体的体积Vx。我们用元素法来建立旋转体体积的二重积分公式。D

在区域D的(x,y)处取一个面积元素6.2定积分的几何应用50504020301D它到x轴的距离是y（如图）。该面积元素绕x轴旋转而成的旋转体的体积约为：（体积元素）于是整个区域绕x轴旋转而成的旋转体的体积为：

D命题1：上半平面内一个有界闭区域D绕x轴旋转而成的旋转体的体积为：0102

同理6.2定积分的几何应用7D命题2：右半平面内一个有界闭区域D绕y轴旋转而成的旋转体的体积为：0102

下面针对不同的区域

将二重积分化为定积分

得到熟悉的旋转体体积公式

x型区域绕x轴旋转6.2定积分的几何应用9

如果6.2定积分的几何应用10圆片法y=f(x)则D绕x轴旋转的旋转体体积为：

如果6.2定积分的几何应用115%55%30%10%y=f(x)则D绕x轴旋转的旋转体体积为y=g(x)垫圈法

y型区域绕y轴旋转6.2定积分的几何应用12

如果6.2定积分的几何应用=f(y)则D绕y轴旋转的旋转体体积为：圆片法

如果6.2定积分的几何应用14STEP4STEP3STEP2STEP1x=f(y)x=g(y)则D绕y轴旋转的旋转体体积为：垫圈法

x型区域绕y轴旋转！6.2定积分的几何应用15注意：一般教材没有介绍这个公式。

如果6.2定积分的几何应用16则D绕y轴旋转的旋转体体积为：柱壳法y=g(x)y=f(x)

下面看一个极坐标的情形6.2定积分的几何应用17

如果D是曲边扇形：6.2定积分的几何应用18则D绕极轴(x轴)旋转的旋转体体积为：

我们用命题1来推导一个有关区域D的形心

(质心)和旋转体体积之间的关系的定理：古尔丁定理PaulGuldin（古尔丁）1577–1643Swissmathematicianwhowroteonvolumesandcentresofgravity.

古尔丁定理6.2定积分的几何应用20D01上半平面内一个有界闭区域D绕x轴旋转而成的旋转体的体积等于该区域的形心所经过的路程与D的面积A的乘积。02形心03A04

D01形心02A03如果你很容易求得D的面积和形心，用古尔丁定理就很容求得旋转体的体积。04

下面来看一般的情形6.2定积分的几何应用22一般的区域01一般的旋转轴02

设D是xOy坐标平面内的一个有界闭区域。直线L与D的内点不相交（如图）。

将D绕直线L旋转一周得一旋转体，求该旋转体的体积V。D我们用元素法来建立旋转体体积的二重积分公式。L

设直线L的方程为ax+by+c=0。01D03它到直线L的距离是：05于是整个区域D绕直线L旋转而成的旋转体的体积为：02在区域D的(x,y)处取一个面积元素04该面积元素绕L旋转而成的旋转体的体积约为：06L

1D2命题3区域D绕直线ax+by+c=0（D在直线的一侧）旋转而成的旋转体的体积为：3L

下面举几个例子来说明

命题3中的公式的应用所有计算都用数学软件Maple验证了

with(plots):quxian:=plot([x^2,2*x],x=-1..3,y=-1..5,thickness=4):display(quxian,tickmarks=[0,0],scaling=constrained);例1求由y=2x和y=x2所围区域D绕直线

y=2x旋转的旋转体体积V。

例2求由x=y2和y=x2所围区域D绕直线

y=x-1旋转的旋转体体积V。

with(plots):quxian:=implicitplot([y=x^2,x=y^2,y=x-1],x=-1..3,y=-1..2,thickness=4):display(quxian,tickmarks=[0,0],scaling=constrained);例3求由y=0,y=lnx和x=e所围区域D绕直线

y=-x旋转的旋转体体积V。

也可以按先x后y的积分次序计算二重积分：f:=(x,y)-x+y;y1:=0:y2:=1:x1:=y-exp(y):x2:=y-exp(1):sqrt(2)*Pi*Int(Int(f(x,y),x=x1(y)..x2(y))