第十一讲数据拟合与线性最小二乘拟合.pptVIP

数据拟合与线性最小二乘法第十一讲数据拟合与线性最小二乘拟合第1页，共17页，星期日，2025年，2月5日1．曲线拟合的提法与求解思路1）.提法曲线拟合问题的提法是，已知一维（二维）数据，即平面上的n个点(xi，yi)，i=1,2,…,n，xi互不相同，寻求一个函数(曲线)y=f(x)，使f(x)在某种准则下与所有数据点最为接近，即曲线拟合的最好，如下图所示(图中δi为(xi，yi)与y=f(x)的距离)。2）.求解思路线性最小二乘法是解决曲线拟合最常用的方法。基本思路是，令f(x)=a1r1(x)+a2r2(x)+…+amrm(x)(1)其中rk(x)是事先选定的一组函数，ak是待定系数(k=1,2,…,m，mn)。拟合准则是使n个点(xi，yi)，i=1,2,…,n，与y=f(xi)的距离δi的平方和最小，称为最小二乘准则。Oxyδi(xi，yi)第2页，共17页，星期日，2025年，2月5日2．线性最小二乘法1）.理论———基本理论之ak的确定根据最小二乘准则，记J(a1，a2，…，am)=为求a1，a2，…，am是J达到最小，只需要利用极值的必要条件得到关于a1，…，am的线性方程组第3页，共17页，星期日，2025年，2月5日2．线性最小二乘法记，A=(a1，a2，…，am)T，y=(y1，…，yn)T，方程组(3)可表为RTRA=RTy(4)(4)称为法方程组，当{r1(x)，…，rm(x)}线性无关时，R列满秩，RTR可逆，于是方程组(4)有唯一解A=(RTR)-1RTy(5)可以看出，只要f(x)关于待定系数a1，…，am线性，在最小二乘准则（2）下得到的方程组(3)关于a1，a2，…，am也一定是线性的，故称线性最小二乘法。第4页，共17页，星期日，2025年，2月5日2．线性最小二乘法2)理论______函数rk(x)的选取面对一组数据(xi，yi)，i=1,2,…,n，用线性最小二乘法作曲线拟合时，首要的、也是关键的一步是恰当地选取r1(x)，r2(x)，…，rm(x)。????如果通过机理分析，能够知道y与x之间应该有什么样的函数关系，则r1(x)，…，rm(x)容易确定。若无法知道y与x之间的关系，通常可以将数据(xi，yi)，i=1,2,…,n作图，直观地判断应该用什么样的曲线去作拟合。人们常用的参数曲线有u?????直线y=a1x+a2u?????多项式y=a1xm+…+amx+am+1(一般m=2,3,不宜过高)u?????双曲线（一支）y=a1/x+a2u?????指数曲线对于指数曲线，拟合前需作变量代换，化为对a1，a2的线性函数。已知一组数据，用什么样的曲线拟合最好，可以在直观判断的基础上，选择集中曲线分别作拟合，然后比较，看那条曲线的最小二乘指标J最小。第5页，共17页，星期日，2025年，2月5日2．线性最小二乘法3）求解方法（1）??描出数据的图示；（2）??观察并选择不同的数学模型进行拟合；（3）?比较多种拟合结果，选择其中较好的一种或者某几种作为备选结果；注意：通常需要将非线性函数rk(x)的转化成线性的函数Rk(x)，然后再用Rk(x)进行拟合，计算中通常需要列下表：i01…nxix0x1…xnyi=f(xi)y0y1…ynR1(x)R1(x0)R1(x1)…R1(xn)………………Rm(x)Rm(x0)Rm(x1)…Rm(xn)这样就容易确定出法方程组RTRA=RTy。上表中后面的m行即为RT。第6页，共17页，星期日，2025年，2月5日2．线性最小二乘法3）.算例例给定数据(xi，f(xi))，i=0,1,2,3,4，见下表，使选择适当的模型，求最小二乘拟合函数g(x)。i01234xi1.001.251.501.752.00f(xi)5.105.796.537.458.46Yi=lnf(xi)1.6291.7561.8762.0082.135解：（1）、先描出数据的图示第7页，共17页，星期日，2025年，2月5日2．线性最小二乘法（2）选定不同的数学模型或者rk(x)进行拟合???直线模型y=a+bx选取线性