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4.5.1函数的零点与方程的解
课程:高中数学
教材:高中数学人教A版(2019)必修第一册
章节:4.5.1函数的零点与方程的解
教材分析
本节课围绕函数零点与方程解的关系展开,通过二次函数的实例引入函数零点的概念,并结合图像分析零点存在的条件,进而归纳出函数零点存在定理。教学过程从具体函数出发,通过观察图像、分析函数值变化,引导学生归纳出零点存在的判断方法。本节内容承接了之前关于函数图像与性质的学习,为进一步研究函数的连续性与单调性提供了基础。掌握函数零点的判断方法有助于学生理解函数与方程之间的内在联系,提升数形结合和逻辑推理能力,为后续学习如利用二分法求方程近似解、研究函数单调性等问题提供方法支持。
学情分析
针对本节知识内容和学生认知水平而言,学生已经掌握了函数的基本概念、图象与性质,熟悉二次函数的零点与方程解的关系,并具备利用图象判断函数变化趋势的能力,能够通过描点法绘制简单函数的图象,初步具备数形结合的思想基础,但在将函数性质与方程解的存在性进行逻辑联系方面仍需加强,本节课通过引导学生从函数图象的连续性和端点函数值的符号变化入手,理解零点存在定理的实质,帮助学生建立函数与方程之间的内在联系,提升其逻辑推理能力和数学抽象能力,同时增强对函数图象分析的深度与广度。
教学目标
理解函数零点的概念,能够解释零点与方程解、函数图象的关系,达到数学抽象核心素养水平一的要求。
掌握函数零点存在定理的条件和结论,能够运用定理判断函数在给定区间内是否存在零点,达到逻辑推理核心素养水平二的要求。
能够通过函数图象和函数值的变化规律,分析函数零点的存在性,达到直观想象核心素养水平二的要求。
能够运用函数零点与方程解的关系,解决简单的实际问题,达到数学建模核心素养水平一的要求。
能够通过具体函数实例,归纳总结函数零点存在的一般规律,达到数学抽象和逻辑推理核心素养水平二的要求。
重点难点
教学重点:函数零点的定义及其与方程解的关系,函数零点存在定理的条件与应用。
教学难点:理解函数在区间上满足f(a)f(b)0时零点的存在性,定理中连续性和符号变化的逻辑推理。
课堂导入
同学们,在之前的学习中,我们已经了解了二次函数的相关知识。现在请大家思考这样一个问题:已知一个一元二次方程x2?5x+6=0,我们都知道可以通过因式分解等方法求解它的根。那假如遇到一个更复杂、无法直接用公式求解的方程,比如x3?2x?1=0,该怎么办呢?其实呀,我们可以将方程与函数联系起来。就像对于二次函数y=x2?5x+6,它与x轴交点的横坐标就是方程
函数的零点与方程的解
探究新知
(一)知识精讲
我们已经知道,对于一个函数y=f(x),如果存在实数x使得f(x)=0,那么这个实数x就叫做函数y=f(x)的零点。换句话说,函数的零点就是对应方程f(x)=0的实数解,也是函数图像与x轴交点的横坐标。
因此,我们可以得出以下等价关系:
方程?
这说明,求解方程f(x)=0的实数解,本质上就是寻找函数y=f(x)的零点。对于一些无法通过代数公式求解的方程,我们可以通过研究函数图像和性质来判断是否存在零点,从而估算或确定方程的解。
接下来我们以二次函数f(x)=x2?2x?3
可以发现,函数在区间[2,4]上有一个零点。在这个区间内,函数图像与x轴相交,并且函数值在端点处异号,即f(2)?f(4)0。同样地,在区间[?2,0]上,函数也有一个零点,且端点处函数值异号。
由此我们可以总结出一个重要的结论:
函数零点存在定理:如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图像是一条连续不断的曲线,并且有f(a)?f(b)0,那么函数y=f(x)在区间(a,b)内至少有一个零点,即存在某个c∈(a,b),使得f(c)=0。
这个定理为我们判断函数在某个区间内是否存在零点提供了依据,也为后续利用图像和数值方法求解方程提供了理论基础。
(二)师生互动
教师提问1:我们刚才看到,函数在区间两端点函数值异号时,图像会穿过x轴,从而存在零点。那么如果函数在某个区间两端点的函数值同号,是否一定没有零点呢?请同学们结合图像思考。
学生讨论后回答:不一定。例如函数在区间内可能有两个零点,或者图像在x轴上方或下方“回旋”而不穿过x轴,此时虽然端点同号,但可能仍然存在零点。
教师提问2:函数零点存在定理中提到“图像是一条连续不断的曲线”,这个条件是否可以省略?如果函数在区间内不连续,会发生什么情况?
学生思考后回答:不能省略。如果函数在区间内不连续,即使端点函数值异号,也可能没有零点。例如函数在某点处有跳跃间断点,图像虽然“断开”,但端点值异号,中间可能没有零点。
教师总结:这说明函数的连续性是零点存在定理成立的重要前提条
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